序論：速發(fā)表網(wǎng)結(jié)合其深厚的文秘經(jīng)驗(yàn)，特別為您篩選了11篇數(shù)學(xué)中的反證法范文。如果您需要更多原創(chuàng)資料，歡迎隨時(shí)與我們的客服老師聯(lián)系，希望您能從中汲取靈感和知識！

篇1

有個(gè)很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個(gè)名叫王戎的小孩，一天他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒動(dòng)，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的?！边@個(gè)故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃.在數(shù)學(xué)里這種方法叫反證法.

反證法不但在實(shí)際生活和初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也具有特殊作用.數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)論，從最基本的性質(zhì)、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的.即：提出假設(shè)――推出矛盾――肯定結(jié)論.

“反證法”雖然是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但對數(shù)學(xué)的其他各部分內(nèi)容，如代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用.下面通過具體的例子來說明其應(yīng)用。

一、否定性命題

證明：假設(shè)AB，CD不平行，即AB，CD交于點(diǎn)P，則過P點(diǎn)有ABEF，且CDEF，與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線垂直于已知直線”矛盾.假設(shè)錯(cuò)誤，則AB∥CD

否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測的，也沒有一個(gè)機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn)，有的甚至是捉摸不定的.一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn).因此在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾.只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束.

篇2

【中圖分類號】G633.6

1 引言

公元前六世紀(jì)中期的古希臘七賢之首--泰勒斯最早引入了數(shù)學(xué)證明的思想，公元前三世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德第一個(gè)最廣泛、最嫻熟地運(yùn)用了數(shù)學(xué)證明，我國數(shù)學(xué)家江澤函則指出："沒有數(shù)學(xué)證明，就沒有數(shù)學(xué)"。反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種間接證明方法，在數(shù)學(xué)命題的證明中被廣泛應(yīng)用。歐幾里德證明"素?cái)?shù)有無窮多"、歐多克斯證明"兩個(gè)正多邊形的面積比等于其對應(yīng)線段比的平方"、"鴿子原理"和"最優(yōu)化原理"的證明等都用了反證法。但是由于在現(xiàn)行的各種教材中沒有對反證法給出系統(tǒng)的介紹，學(xué)生對反證法原理的理解和恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用也存在不少的問題，故本文在此"拋磚引玉"。

2 反證法內(nèi)涵

2.1 什么是反證法

法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說過："反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。"即先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，結(jié)合已知的定理?xiàng)l件，進(jìn)行正確的推理、論證，得出和命題中的題設(shè)或前面學(xué)習(xí)過的定義、公理、定理、已知的事實(shí)相矛盾，或自相矛盾的結(jié)果，從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立，因而斷定命題中的結(jié)論成立，這種證明的方法就叫做反證法。

2.2 反證法的原理

2.2.1 矛盾律

矛盾律是亞里士多德的形式邏輯的基本規(guī)律之一，其基本內(nèi)容是：在同一個(gè)論證過程中，對同一對象的兩個(gè)相矛盾的、對立的判斷，其中至少有一個(gè)是假的，它的公式是：不是。如對""這個(gè)對象，"是有理數(shù)"和"是無理數(shù)"的兩個(gè)判斷中至少有一個(gè)是假的。

2.2.2 排中律

排中律是形式邏輯的由一個(gè)基本規(guī)律，其基本內(nèi)容是：在同一個(gè)論證過程，對同一對象的肯定判斷和否定判斷。這兩個(gè)相矛盾的判斷必有一個(gè)是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三種情況的可能，在數(shù)學(xué)論證中常根據(jù)排中律進(jìn)行推理。如要證明"是有理數(shù)"，只要證明"不是有理數(shù)"不真就夠了。這是因?yàn)?不是有理數(shù)"和"是有理數(shù)"是對象的兩個(gè)相矛盾的判斷，根據(jù)排中律，其中必有一個(gè)是真的。

2.3 運(yùn)用反證法證明論題的步驟

運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)命題""，首先，必須弄清楚命題的條件和結(jié)論，然后按以下步驟進(jìn)行論證：

第一步：否定命題的結(jié)論，作出與相矛盾的判斷，得到新的命題；

第二步：由出發(fā)，利用適當(dāng)?shù)亩x、定理、公理進(jìn)行正確的演繹推理，引出矛盾結(jié)果；

第三步：斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于判斷不真，從而否定，肯定原結(jié)論成立，間接證明了原命題。

分析上述三個(gè)步驟可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于由新的論題演繹出一對矛盾，一般為推出的結(jié)果與某一定義、定理、公理、已知條件、所作題斷矛盾，或是推出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果。

值得注意的是在運(yùn)用反證法證明命題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致地審題，若發(fā)現(xiàn)與論題結(jié)論相矛盾方面有不止一種情況，必須予以一一否定。且有時(shí)并非全部運(yùn)用反證法，它可能只在證明過程中部分地出現(xiàn)。

3 反證法在證明論題中的運(yùn)用

反證法是重要的證明方法，在幾何、代數(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的運(yùn)用，現(xiàn)分類舉例說明。

3.1 反證法在幾何中的運(yùn)用

3.2 反證法在代數(shù)中的運(yùn)用

4 結(jié)語

由上可知，用反證法證明一些問題時(shí)，有著其它方法所不能替代的作用。師生在了解了反證法的特點(diǎn)、證明過程及應(yīng)用"須知"后，加強(qiáng)訓(xùn)練、不斷總結(jié)，就能熟練地運(yùn)用了。

參考文獻(xiàn)：

[1] 杜永中.反證法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.

篇3

反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，屬于“間接證明” 的一種（引用于現(xiàn)行人教版數(shù)學(xué)教材）.所謂反證，就是將要證明的反面情況駁倒就可以了.首先假設(shè)原命題不成立（即我們在原命題的條件下，假定結(jié)論不成立），據(jù)此推導(dǎo)出明顯矛盾的結(jié)果，從而得出結(jié)論說原假設(shè)不成立，原命題得證.

關(guān)于反證法的邏輯依據(jù)不得不提兩個(gè)重要的思維方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一論證過程中，兩個(gè)互相反對或互相否定的論斷，其中至少有一個(gè)是假的.排中律：任何一個(gè)命題判斷或思想或者為真或者為假（不真），二者必居其一. 法國數(shù)學(xué)家J?阿達(dá)瑪曾概括為：“這證法在于表明：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾.”這就是說反證法并非直接證明命題的結(jié)論，先是提出與需證結(jié)論反面的假定，然后推導(dǎo)出和公理、定理、定義或與題中假設(shè)相矛盾的結(jié)果.這樣，就證明了與待證命題的結(jié)論相反的假設(shè)無法成立，從而肯定了原來待證命題.用反證法完成一個(gè)命題的證明，大體上有三個(gè)步驟：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立.

二、反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）在肯定性命題中的應(yīng)用

即結(jié)論以“……總是……”、“……都……”、“……全……”等出現(xiàn)的，這類肯定性命題可以用反證法進(jìn)行嘗試.

如（代數(shù)問題）求證：無論n是什么自然數(shù)，總是既約分?jǐn)?shù).

證明：假設(shè)不是既約分?jǐn)?shù)，

令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？綴N，k>1）

既約，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因?yàn)?？琢-2b整數(shù)，為分?jǐn)?shù)，則3？琢-2b=不成立，故假設(shè)不成立，分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù).

（二）在否定性命題中的應(yīng)用

即結(jié)論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題.

（三）在限定性命題中的應(yīng)用

在命題結(jié)論中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等詞語.

如（代數(shù)問題，抽屜原理）把2110人分成128個(gè)小組，每組至少1人，證明：至少有5個(gè)小組的人數(shù)相同.

證明：如若128個(gè)小組中，沒有5個(gè)小組的人數(shù)相同.則至多有4個(gè)小組的人數(shù)相同.那么不同人數(shù)的小組是：128÷4=32個(gè)，對32個(gè)小組，我們這樣分組：有4個(gè)組每小組1人，有4個(gè)組每小組2人，有4個(gè)組每小組3人，依法分組……有4個(gè)組每小組32人，故有：

4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112

這樣2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一個(gè)小組人數(shù)就減少1人或2人，那么相同人數(shù)的組數(shù)就比4個(gè)多了，即5個(gè)或多于5個(gè)以上. 故至少有5個(gè)小組的人數(shù)相同.

（四）在不等量命題中的應(yīng)用

不等式是學(xué)生需掌握的一大重點(diǎn).當(dāng)不等式的反面情況比較少時(shí)，題中若要求證明不等式成立時(shí)，那么只需用反證法來證實(shí)其反面不成立.

（五）在互逆命題中的應(yīng)用

已知原命題是正確命題，在求證其逆命題時(shí)可使用原命題結(jié)論，此時(shí)反證法為解題提供更多便捷.

如（平面幾何問題）

原命題：若四邊形有一個(gè)內(nèi)切圓，則對邊之和必相等.

逆命題：若四邊形對邊之和相等，則它必有一個(gè)內(nèi)切圓.

逆命題的證明：

三、對反證法運(yùn)用的思考

（一）在解題時(shí)，仔細(xì)審題是第一步.當(dāng)運(yùn)用反證法時(shí)，正確否定命題的結(jié)論是首要問題.要使一個(gè)待證命題的結(jié)論成立，需根據(jù)正難則反的原則.從結(jié)論的反面來間接思考問題，值得注意的是命題結(jié)論的反面情況并非唯一.若結(jié)論的反設(shè)只有一種情況，稱之為簡單歸謬.例如，證明根號2是無理數(shù)，只需證根號2不是有理數(shù).若結(jié)論的反面不止一種情況，稱之為窮舉歸謬.必須將所有可能情況全部例舉出來，并需要不重不漏地一一否定，只有這樣才能肯定原命題結(jié)論成立.例如，證明某類數(shù)不為正數(shù)，則可以從正數(shù)的反面負(fù)數(shù)與零入手.

（二）明確邏輯推理的特點(diǎn)

反證法的任務(wù)首先需否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾.至于出現(xiàn)什么樣的矛盾，何時(shí)出現(xiàn)矛盾，矛盾是以何種方式存在，都是我們無法計(jì)算和預(yù)測的.證明的過程沒有一個(gè)機(jī)械的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，但最終都會得到矛盾，而這個(gè)矛盾一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行考慮.例如，空間解析幾何，平面幾何，代數(shù)等問題常常與相關(guān)的公理、定理、定義等相聯(lián)系.正因?yàn)榕c這些公式的規(guī)則，定理相互矛盾，進(jìn)而說明原結(jié)論的正確性.這便是反證法的推理特點(diǎn).做到正確否定命題結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，推理過程中步步有理有據(jù)，矛盾出現(xiàn)時(shí)，證明就已完成.

（三）了解產(chǎn)生矛盾的種類

篇4

通常，人們在做數(shù)學(xué)論證時(shí)，往往習(xí)慣于用直接法正向求證，由條件逐步推出結(jié)果，然而，有時(shí)候?qū)δ骋恍?shù)學(xué)問題，根據(jù)已知條件很難推出所要求的結(jié)論，這就要求我們必須嘗試用另一種方式進(jìn)行間接論證，這就是我們通常所説的反證法。

看下面例子：

例1 把1600顆花生分給100只猴子，證明：不管怎樣分法，至少有四只猴子得到的花生一樣多。

解法探析：假設(shè)至多有三只猴子分得的花生數(shù)相同，我們從所需花生最少的情況考慮：

3只猴子各分得0顆花生，

3只猴子各分得1顆花生，

3只猴子各分得2顆花生，

、、、 、、、

3只猴子各分得32顆花生，

最后一只猴子分得33顆花生。

這樣，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（顆）

這與題設(shè)只有1600顆花生矛盾，故原命題成立。

通過以上例子，對這類用直接證法難以下手的題目，用反證法求解時(shí)則十分簡便，那么究竟如何運(yùn)用反證法呢？

（一）　通常來說，用反證法時(shí)有三個(gè)步驟：

ⅰ　反設(shè)

“反設(shè)”就是正確的否定結(jié)論。由于它是反證法的出發(fā)點(diǎn)，所以如果反設(shè)出現(xiàn)錯(cuò)誤，將導(dǎo)致全盤皆錯(cuò)。關(guān)于“反設(shè)”應(yīng)注意：

1　首先要弄清題目的條件和結(jié)論；

2　強(qiáng)調(diào)“反設(shè)”是對結(jié)論的全否定。

例如 求證：若a，b為自然數(shù)，且a×b是奇數(shù)，則a，b都是奇數(shù)。

結(jié)論的反面應(yīng)是：“a，b不都是奇數(shù)”。而不是：“a，b都不是奇數(shù)”。

ⅱ　歸謬

以“反設(shè)”為出發(fā)點(diǎn)，題設(shè)條件為根據(jù)，通過正確推理，得出矛盾。這是反證法的核心。

由于反證法推出矛盾的類型很多，出現(xiàn)矛盾的情形又比較復(fù)雜，因此在進(jìn)行歸謬時(shí)，經(jīng)常會陷入困境，甚至對自己的正確推理產(chǎn)生疑惑，因此，舉例説明推出矛盾的主要類型：

①與客觀事實(shí)矛盾

例 高一有400名學(xué)生，求證：這400名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生的生日是相同的。

證明：假設(shè)400名學(xué)生的生日都不相同，那么一年將有400天，這與客觀實(shí)際相矛盾，故原命題成立。

②與公理，定理矛盾

例 如果兩直線都平行與第三條直線，則這兩條直線也相互平行。

證明：假設(shè)這兩條直線不平行，則必然相交于一點(diǎn)。這樣就得出：過直線外一點(diǎn)，能做出兩條直線與該直線平行的直線。這與平行公理矛盾。

③與題設(shè)矛盾

例如 前面猴子分花生的例子，由假設(shè)求出的結(jié)果共需花生1617顆，而題設(shè)只有1600顆花生，矛盾。

④與反設(shè)矛盾

?！〈嬲?/p>

由所得矛盾肯定原命題成立。

（二）反證法的適用范圍

什么類型的數(shù)學(xué)命題可以用反證法證明呢？一般來説，對于“若A則B”一類的數(shù)學(xué)命題，都能用反證法來證明，但難易程度不同，就多數(shù)題來説，直接證法比較簡捷。因此在證題時(shí)，首先應(yīng)考慮使用直接證法。當(dāng)用直接證法無法下手甚至不可能時(shí)，可考慮使用反證法。

通常來說，下列情況可以考慮使用反證法：

（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；

（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時(shí)；

（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)；

（4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；

（5）命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時(shí)；

（6）關(guān)于存在性命題；

（7）某些定理的逆定理．

總之，正難則反，直接的東西較少、較抽象、較困難時(shí)，其反面常會較多、較具體、較容易．反證法有時(shí)也用于整個(gè)命題論證過程的某個(gè)局部環(huán)節(jié)上．

以上簡單列出了運(yùn)用反證法推出矛盾的主要類型，方便我們參考，應(yīng)該注意的是，一個(gè)數(shù)學(xué)命題，究竟使用那種證明方法更方便一些，要具體問題具體分析，切不可生搬硬套。

參考文獻(xiàn)

1 “正難則反”好思路　峰回路轉(zhuǎn)現(xiàn)通途

作者：朱浩； 福建中學(xué)數(shù)學(xué)2009年第05期

反證法完全解讀

作者：陳素珍 中學(xué)生數(shù)理化（高二版）2010年第02期

篇5

中圖分類號：G630 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-2851（2013）-10-0310-02

法國數(shù)學(xué)家達(dá)瑪說：“反證法在于表明：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾?！边@是對反證法精辟的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為一名教師不僅要重視知識的傳授，更應(yīng)該重視對學(xué)生進(jìn)行智力開發(fā)和能力培養(yǎng)。反證法是突破思維定勢，從相反的方向研究事物的運(yùn)動(dòng)，無疑是一種開拓思路的方法，可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維轉(zhuǎn)換能力，對提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力將大有益處。

一、反證法的概念

反證法就是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理，得出和已知條件或和其他命題相矛盾的結(jié)論，或在推理過程中得出自相矛盾的結(jié)論，從而達(dá)到命題結(jié)論正確的數(shù)學(xué)方法.欲證命題“A是B”，從反面推導(dǎo)“A不是B”不能成立，從而證明“A是B”。它從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過正確，嚴(yán)格的推理，得到與已知（假設(shè)）或已成立的數(shù)學(xué)命題相矛盾的結(jié)果，查處產(chǎn)生矛盾的原因，不是由于推理的錯(cuò)誤，而是開始時(shí)否定結(jié)論所致，因而原命題的結(jié)論是正確的。以上內(nèi)容可以簡單概括為：反設(shè)、歸謬、結(jié)論三個(gè)步驟。

二、反證法證題的步驟

用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：

1.反設(shè) 假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立；

2.歸謬 由“反設(shè)”出發(fā)，根據(jù)已知公理，定義，定理等進(jìn)行層層嚴(yán)密正確的推理；

3.結(jié)論 在推理過程中出現(xiàn)矛盾，說明反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立。

下面舉幾個(gè)例子來說明數(shù)學(xué)中是如何應(yīng)用反證法的。

例1 證明：在ABC中，若sinA

證明 假設(shè)∠A不是銳角，則∠A必是直角或者鈍角。

I.如果∠A是直角，則sinA=1

II.如果∠A是鈍角，令∠A=180°-？琢（？琢為銳角）.則sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢

由于∠B是銳角，所以a

綜上所述，由I，II可知，∠A必為銳角。

三、反證法中常見的矛盾形式

1.與題設(shè)矛盾

例2 若0°

證明 設(shè)sinx=cosx，則sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.

所以 即x=45，這與0°

從而sinx≠cosx.

2.假設(shè)矛盾

例3 已知？琢，？茁為銳角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求證？琢

證明 設(shè)？琢≥？茁，則2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.

因此2？琢，？琢+？茁都是銳角.

所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.

由此可得：cos？琢>1與假設(shè)矛盾.

從而？琢

3.與已知的定義，定理，公理矛盾，即得出一個(gè)恒假命題

例4 已知如圖，弦AB，CD都不是直徑，且相交與點(diǎn)P，求證： AB，CD不能互相平分.

證明 假設(shè)AB與CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.

又因AB，CD，都不是直徑

所以P點(diǎn)與圓心不重合

故存在線段OP，連接OP

又因PA=PB

所以O(shè)PAB（平分弦的直徑垂直與弦）

又因PC=PD

從而OPCD（平分弦的直徑垂直與弦）

這樣，過點(diǎn)P有兩條直線AB，CD都垂直與OP，這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直的公理想矛盾，故AB與CD不能互相平分.

注：有些題看似簡單，但要從正面入手幾乎是不可能的。

4.自相矛盾

例5 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形.

已知在ABC中，角平分線CW，CV相等.求證：AB=AC

證明 如右圖，過V與W分別引直線平行于BA與BV，設(shè)交點(diǎn)為G，連接CG，分別用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分別表示∠VCG，∠VGC，則由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.

設(shè)AB≠AC，則？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因?yàn)閂G=BW，所以VC

但在CBV與BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG

四、應(yīng)用反證法證題中應(yīng)該注意的問題

1.有些幾何問題用反證法證明時(shí)，常常把圖形故意作錯(cuò)，在否定了假設(shè)之后，這些圖形就被否定了。

2.反證法中要對結(jié)論做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”這一類結(jié)論，而要否定時(shí)，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全體”含義的詞后面，犯了否定不全的錯(cuò)誤。

3.否定結(jié)論后要求推理正確無誤，步步有據(jù)，并且要真正推出矛盾。由推理本身的錯(cuò)誤而產(chǎn)生的矛盾，不能作為反證法的依據(jù)。

4.在推理過程中必須要用到“已知條件”，否則證明將會出錯(cuò)。

5.反證法一般無需特意去證某一特定結(jié)論，只要由否定結(jié)論而導(dǎo)致矛盾即可。

通過以上對于反證法的種種表述，我們知道了反證法在數(shù)學(xué)解題中有著舉足輕重的作用，它不僅是一種重要的證題方法，而且對于傳統(tǒng)的定向解題的思維模式是一種創(chuàng)新，這更有利于提高數(shù)學(xué)中提倡的邏輯思維，因此掌握好反證法是非常重要的。

參考文獻(xiàn)

[1]沈文選.初等數(shù)學(xué)解題研究[M].湖南：科學(xué)技術(shù)出版社，1996.

篇6

2 反證法的定義

什么是反證法？法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪曾對它做了一個(gè)精辟的概括：此證法在于表明：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾．可見，利用推理中出現(xiàn)的矛盾可以證明數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，這就是反證法．

反證法是從一個(gè)否定原結(jié)論的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理而得到（與公理、定理、題設(shè)等）相矛盾的結(jié)論，由于推理和引用的證據(jù)是正確的，因此出現(xiàn)矛盾的原因只能認(rèn)為是否定原結(jié)論的假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而得到原結(jié)論成立．

用反證法不是從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真．

篇7

既然反證法是間接證法,那么反證法也是通過證明原命題的等價(jià)命題從而證明原命題的。反證法是指:“證明某個(gè)命題時(shí),先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立,然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā),根據(jù)命題的條件和已知的真命題,經(jīng)過推理,得出與已知事實(shí)(條件、公理、定義、定理、法則、公式等)相矛盾的結(jié)果。這樣,就證明了結(jié)論的否定不成立,從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立?！边@種證明的方法,叫做反證法。運(yùn)用反證法證題一般分為以下三個(gè)步驟。

1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立;

2.從這個(gè)結(jié)論出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;

3.由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確。

即:提出假設(shè)―推出矛盾―肯定結(jié)論。

反證法在線性代數(shù)解題中的應(yīng)用非常廣泛,但什么時(shí)候應(yīng)該使用反證法,證明哪些命題適宜使用反證法,都沒有一定的規(guī)律可循。原則上說,應(yīng)該因題而異、以簡為宜。首先從正面考慮,當(dāng)不易證明時(shí),再從反面考慮。當(dāng)由假定原命題結(jié)論的否定成立去推出矛盾比證明原命題更容易時(shí),就應(yīng)該使用反證法。

二、反證法在解線性代數(shù)題時(shí)的應(yīng)用

1.對于結(jié)論是否定形式的命題,宜用反證法。

由于定義、定理等一般是以肯定的形式出現(xiàn),因此用它們直接證明否定形式的命題可能會有困難。但否定的反面是肯定,因而從結(jié)論的反面入手,即用反證法來證會比較方便。

例1.設(shè)矩陣A的特征值λ≠λ,對應(yīng)的特征向量分別為α、α,證明:α-α不是A的特征向量。

證明:假設(shè)α-α是矩陣A的特征向量,則存在數(shù)λ,使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由題設(shè)條件可知Aα=λα、Aα=λα,于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα,則有λα-λα=λα-λα,即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是屬于不同特征值的特征向量,故α、α線性無關(guān),則λ-λ=λ-λ=0,也即有λ=λ。與題設(shè)λ≠λ矛盾,所以α-α不是A的特征向量。

2.對于證明結(jié)論是“肯定”或“必然”的命題,宜用反證法。

即命題結(jié)論中出現(xiàn)“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式,而且從反面較易入手解題時(shí),可考慮使用反證法。

例2.若λ不是A的一個(gè)特征值,則矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

證明:用反證法,即設(shè)矩陣λE-A不可逆,則行列式|λE-A|=0,說明λ是特征方程|λE-A|=0的根,也即說明λ是A的一個(gè)特征值,與已知矛盾。所以矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

例3.設(shè)β可由α,α,…,α線性表出,但不能由α,α,…,α線性表出,證明α一定可由β,α,α,…,α線性表出。

證明:用反證法,由題設(shè)可知,存在一組常數(shù)k,k,…,k,使得β=k,α+kα+…+kα。假設(shè)k=0,則存在一組常數(shù)k,k,…,k,使得β=kα+kα+…+kα成立,所以β可由α,α,…,α線性表出,這與題設(shè)矛盾,即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α,即α一定可由β,α,α,…,α線性表出。

3.對于證明結(jié)論是“惟一”或“必然”的命題,宜用反證法。

即命題結(jié)論要求證明某元素是“惟一”或某種表示方式是“惟一”的,而直接去找某個(gè)元素或某種表示方式比較困難時(shí),則可考慮從其反面入手。

例4.設(shè)向量β可由向量組α,α,…,α線性表出,證明:表示式惟一的充分必要條件是向量組α,α,…,α線性無關(guān)。

證明:由題設(shè),存在常數(shù)k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=β(1)。

證明充分性:設(shè)向量組α,α,…,α線生無關(guān),來證β由α,α,…,α的線性性表示式惟一。

假設(shè)β由α,α,…,α的線性表示式不惟一,設(shè)還有線性表示式為lα+lα+…+lα=β(2)。則k≠l(i=1,2,…,m),則(1)式與(2)式相減得:

(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。

由于α,α,…,α線性無關(guān),故得k-l=0,即k=l(i=1,2,m)。這與k≠l(i=1,2,…,m)矛盾,即β由α,α,…,α線性表示式是惟一的。

證明必要性:設(shè)線性表示式(1)惟一,來證α,α,…,α線性無關(guān)。

假設(shè)α,α,…,α線性相關(guān),則存在一組不全為0的數(shù)λ,λ,…λ,使得λα+λα+…+λα=0(3)。則(1)式與(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因?yàn)棣?λ,…,λ不全為0,從而存在β的兩種不同表示方法,這與β由α,α,…,α的線性表示式惟一矛盾,因此向量組α,α,…,α線性無關(guān)。

4.對于證明結(jié)論是“至少什么”或“至多什么”的命題,宜用反證法。

例5.試證:向量組α,α,…,α(其中α≠0,s≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是至少有一個(gè)向量α(1≠i≤s)可以被α,α,…,α線性表出。

證明充分性:設(shè)有向量α可以由α,α,…,α線性表出,則α,α,…,α線性相關(guān)。由于α,α,…,α是α,α,…,α的一個(gè)部分組,所以α,α,…,α線性相關(guān)。

證明必要性:用反證法,假設(shè)每個(gè)α(1≠i≤s)都不能由α,α,…,α線性表出。我們接下來來證明α,α,…,α線性無關(guān),設(shè)有一組數(shù)k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=0(1),

則必有k=0,否則k≠0時(shí),α可由α,α,…,α線性表出,與假設(shè)不符。這樣(1)式成為kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0,…,k=0,因此(1)式成為kα=0。

又已知α≠0,故得k=0。所以向量組α,α,…,α線性無關(guān),與必要性的題設(shè)矛盾,假設(shè)不成立。即至少有一個(gè)向量α可以由α,α,…,α線性表出。

5.對于某些逆命題的正確性,可用反證法。

當(dāng)原命題與其逆命題都成立時(shí),其逆命題的正確性可用反證法來證明。

例6.設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣。試證:r(A)=n的充分必要條件是存在矩陣B,使AB+BA是正定矩陣。

證明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩陣,取B=A,則有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E為正定矩陣。

證明充分性:用反證法,假設(shè)r(A)≠n,則n元齊次線性方程組AX=0有非零解,即有X≠0,使AX=0,也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA,說明AB+BA是實(shí)對稱矩陣。

上述X≠0時(shí),f=X(AB+BA)X=0,與AB+BA是正定矩陣矛盾,所以r(A)=n。

參考文獻(xiàn):

[1]錢椿林.線性代數(shù)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]王中良.線性代數(shù)解題指導(dǎo)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2004.

篇8

一、三段論的格

作為一門古老的學(xué)科，邏輯已有兩千多年的歷史。所謂邏輯就是一種能夠保留預(yù)設(shè)真值的推理方法。作為邏輯的基礎(chǔ)，我們當(dāng)然不能忘記亞里士多德和他的三段論。然而關(guān)于三段論人們還是廣泛存在著誤解。

通常人們所言的三段論并非完全意義上亞里士多德的理論，就如同中學(xué)課本中的幾何公理化體系與《幾何原本》相差甚遠(yuǎn)一樣，生活中最常見的三段論只是亞里士多德所劃分的二十四個(gè)式中的一種形式，而亞里士多德的成就更多體現(xiàn)在《后分析篇》中關(guān)于公理化的研究，這一點(diǎn)離大眾過于遙遠(yuǎn)，在此不作討論。

更重要的是，人們對于直言三段論的基本形式過于忽略，而這種形式對推理有決定性的作用，請看下面兩個(gè)例子。

推理1 推理2

所有植物都需要水 所有植物都需要水

三葉草是植物 三葉草需要水

所以三葉草需要水 所以三葉草是植物

這兩個(gè)推理都正確嗎？盡管前提都正確，結(jié)論就常識而言也沒有錯(cuò)，但是從邏輯角度看，推理2是錯(cuò)誤的，因?yàn)閺摹叭~草需要水”推出“三葉草是植物”其實(shí)證據(jù)不足，如推理1所示，正確的推理形式是這樣的：

1.所有B是A

2.并且所有C是B

3.那么所有C是A

這就是基本的邏輯定理，其中1、2稱為前提，3稱為結(jié)論。正確的形式為前提1的主項(xiàng)是前提2的謂項(xiàng)，其余詞項(xiàng)組成結(jié)論，此時(shí)前提的真值必然決定結(jié)論的真值。這種形式稱為三段論的格，用Venn表示如圖1，C是A的子集是很明顯的。

圖1

反觀推理1與推理2，我們在應(yīng)用三段論時(shí)一定要嚴(yán)謹(jǐn)。其實(shí)很多結(jié)論不嚴(yán)密的推理大多都犯有詞項(xiàng)位置的錯(cuò)誤。

二、反證法的原理

反證法是一種簡單卻又行之有效的證明方法，從其創(chuàng)立至今就一直被廣泛使用。它的優(yōu)點(diǎn)是，即使不知道怎樣直接證明，也能辨別該命題的真?zhèn)?。最基本的事?shí)便是，一個(gè)命題的反命題導(dǎo)致了矛盾，則原命題是正確的。

在反證法中，我們把待證的結(jié)論的反面作為一個(gè)前提，依據(jù)正確的三段論原理推理，并最終尋找出與現(xiàn)實(shí)的直觀矛盾或于理不符之處。而結(jié)論的真假由前提而定（前文已論述），這個(gè)矛盾說明假設(shè)有誤，因此它的反命題（即待證命題）是正確的。

三、反證法在中學(xué)階段的應(yīng)用

以上敘述了邏輯推理的基礎(chǔ)和反證法的原理，下面是關(guān)于反證法應(yīng)用的討論。

中學(xué)階段中，反證法在幾何中的應(yīng)用并不多見。然而，平面幾何中的反證法卻妙不可言，它們精妙的構(gòu)思令人贊嘆，阿基米德甚至用此法證明了圓的面積計(jì)算公式。在此我摘錄《原本》中的一個(gè)命題為反證法的一個(gè)例子。

如果兩圓相交，那么它們不能有相同的圓心。

設(shè)：圓ABC與圓CDG相交與B、C兩點(diǎn)（如圖）。

證明：假設(shè)有相同的圓心為E，連接EC，任意連一條線EFG，

因?yàn)镚為圓ABC的圓心，所以EC等于EF，

又因?yàn)镋為圓CDG的圓心，所以EC等于EG，

所以EG等于EF。

于是部分大于整體（違背第5公理）這不可能。

所以：E不是圓ABC、CDG的圓心。

所以：兩圓相交不可能有圓，證完。

另一個(gè)例子來自圖論，有過競賽經(jīng)歷的人對此模型是非常熟悉的。

兩人或兩人以上的人群中，人們互相與熟人握手，那么至少兩個(gè)人的握手次數(shù)相同。

證明：以人為頂點(diǎn)，僅當(dāng)兩個(gè)人握手時(shí)，在此二人間連一邊，構(gòu)成一個(gè)圖G（V，E），設(shè)V=［V，V，…，V］，不妨設(shè)各項(xiàng)的度數(shù)為d（v）≤d（v）≤…≤d（v），

若等號皆不成立，則有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），

（1）若d（v）=n-1，則每個(gè)頂點(diǎn)皆與v相鄰，于是d（v）≥1，

所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n與d（v）=n-1相違.

（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，與d（v）＜n-1相違，故假設(shè)不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一處等號成立，即至少兩個(gè)人握手次數(shù)相同，證完。

通過兩個(gè)例子的展示，反證法行之有效的特點(diǎn)一目了然。不過反證法構(gòu)造的技巧性是有難度的。因此我在這里總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)中反證法的常用場合。

（1）命題以否定形式出現(xiàn)；

（2）唯一性的命題；

篇9

二、克服反證法教學(xué)心理障礙

學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程包括圖式—同化—順應(yīng)—平衡等四個(gè)過程。當(dāng)一個(gè)新知識出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生首先是用舊的認(rèn)識結(jié)構(gòu)對其進(jìn)行解釋與吸收，將新知識納入原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)之中。當(dāng)原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)不能解釋，不能容納新知識時(shí)，則內(nèi)部系統(tǒng)及對原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新改組，擴(kuò)大。使之足以包攝新知識，達(dá)到新的平衡。學(xué)生在以往學(xué)習(xí)的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會與原有的知識系統(tǒng)和認(rèn)識圖形相互矛盾。他們在具體證明某一題目時(shí)，只須將題目具體內(nèi)容“同化”到他們原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經(jīng)形成了他們進(jìn)行演繹推理的心理基礎(chǔ)，成為他們達(dá)到心理平衡的依據(jù)。運(yùn)用直接證明方法時(shí)，也有心理障礙存在，但那是由于在錯(cuò)覺影響下，或在下意識作用下的原因所造成的。而學(xué)習(xí)反證法時(shí)，推理過程中出現(xiàn)的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯(cuò)覺或下意識是不同的。要使學(xué)生真正掌握反證法。不將學(xué)生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進(jìn)行“順應(yīng)”的過程，是不可能的。反證法的教學(xué)，不應(yīng)拘泥于教材，宜采取分散難點(diǎn)，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計(jì)劃地落實(shí)到教學(xué)之中，著重培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行形式演繹的能力。

結(jié)果，指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時(shí)，一定要突出兩點(diǎn)：一是要將結(jié)論的反面當(dāng)成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結(jié)果，否則就不能導(dǎo)致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設(shè)不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應(yīng)是無懈可擊的，其矛盾的產(chǎn)生并非別的原因，只因反設(shè)不成立所致。同時(shí)，導(dǎo)致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。

二是與已學(xué)定義、公理、定理相矛盾。三是與題設(shè)相矛盾。

3、“結(jié)論”的練習(xí)：“反證法”中的結(jié)論是指最后得出所證命題的結(jié)論。教學(xué)時(shí)，一定要嚴(yán)格要求“結(jié)論”準(zhǔn)確。否則，將前功盡棄。

（四）比較辨析，恰當(dāng)運(yùn)用“反證法”

“反證法”在幾何、代數(shù)、三角等方面都能應(yīng)用。教學(xué)時(shí)，為了擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生積極性，可適當(dāng)補(bǔ)充這方面的練習(xí)題。另一方面，學(xué)生學(xué)了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結(jié)果使一些簡單問題復(fù)雜化了，以致弄巧成拙。教學(xué)時(shí)還應(yīng)強(qiáng)調(diào)，什么時(shí)候用“直接證明法”，什么時(shí)候用“反證法”，應(yīng)依所證命題的具體情況恰當(dāng)使用。 原則上是“以簡

（一）淺顯事例引入“反證法”的基本思想

學(xué)生剛接觸“反證法”時(shí)，對于此法中根據(jù)排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學(xué)時(shí)，可通過學(xué)生已有實(shí)踐體會的淺顯的生活方面的事例讓學(xué)生逐步領(lǐng)會。開始將“反證法”用于解題時(shí)候，也宜于用學(xué)生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。

（二）精講例題，找出“反證法”的基本規(guī)律

有前面的基礎(chǔ)，就要注意講好每一個(gè)具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時(shí)的第一個(gè)例題。教學(xué)時(shí)，宜于運(yùn)用具體的幾何實(shí)例。逐步說明證明的過程，并啟發(fā)學(xué)生沿著思維規(guī)律進(jìn)行思考，得出“反證法”的一般步驟和規(guī)律：

1、反設(shè)：將結(jié)論的的反面作為假設(shè)。

2、歸謬：將“反設(shè)”作條件，由此推出和題設(shè)或者和公理、定義、已證的定理相矛盾的結(jié)果。

3、結(jié)論：說明“反設(shè)”不成立，從而肯定結(jié)論不得不成立。

（三）加強(qiáng)練習(xí)，培養(yǎng)用“反證法”證題的基本能力

在學(xué)生初步領(lǐng)會“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應(yīng)靠足夠的練習(xí)來逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“反證法”證題的能力。練習(xí)要有針對性，要重點(diǎn)突出，根據(jù)“反證法”的特點(diǎn)，練習(xí)的著重點(diǎn)應(yīng)放在“反設(shè)”、“歸謬”、“結(jié)論”三個(gè)方面。

1、“反設(shè)”的練習(xí)：“反設(shè)”即為“否定結(jié)論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續(xù)部分，學(xué)生初學(xué)時(shí)，往往去否定假設(shè)，教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意糾正。要突出“反設(shè)”的含義就是“將結(jié)論的反面作為假設(shè)”。在思考途徑上可指導(dǎo)學(xué)生按以下幾步進(jìn)行：第一要弄清所證命題的題設(shè)和結(jié)論各是什么。第二找出結(jié)論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復(fù)。第三否定時(shí)用“不”或“不是”加在結(jié)論的前面，再把句子化簡。

2、“歸謬”的練習(xí)：“歸謬”即“假定結(jié)論的反面成立，而導(dǎo)致矛盾?！本褪钦f將結(jié)論的反面作為條件后，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學(xué)生初學(xué)時(shí)，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時(shí)候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。

1、當(dāng)直接證明某個(gè)命題有困難或不可能時(shí)，可考慮使用“反證法”。

2、否定性問題：在此類問題中，結(jié)論的反面即可能就更為具體，常?？梢杂纱巳ネ瞥雒埽瑥亩穸赡?，而肯定了不可能。

3、唯一性問題：此類問題中，結(jié)論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個(gè)不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。

篇10

在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中常采用的反證法和公式、定理的逆用等都是運(yùn)用了逆向思維，以下本文將簡單介紹如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和應(yīng)用逆向思維。

一、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

逆向思維的重要意義就是要打破學(xué)生的思維定式，解除學(xué)生固有的思維框架，逆向思維就是在思考問題時(shí)思維發(fā)生突變和跳躍，從而獲得全新的解題思路和方法，逆向思維是建設(shè)新理論、發(fā)展新科學(xué)的重要途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中常應(yīng)用的假設(shè)需求解變量為x，即逆向思維在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用，其原理就是把原本需求解的未知數(shù)假定為x代入算式中，視x為已知，利用關(guān)系式反推而最終求出x的值。早在19世紀(jì)逆向思維就被應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而得出了“非歐幾何”，20世紀(jì)的“模糊數(shù)學(xué)”也是逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的典型事例。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的開發(fā)和鍛煉

關(guān)于如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和鍛煉學(xué)生的逆向思維，筆者有以下兩點(diǎn)建議。

1.將逆向教學(xué)滲入基礎(chǔ)知識的教學(xué)中

數(shù)學(xué)是初中教育的基礎(chǔ)學(xué)科之一，在重視學(xué)生對基礎(chǔ)知識熟練掌握和應(yīng)用的同時(shí)，將逆向思維、逆向教學(xué)引入，不但可以加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的了解，還能夠開拓學(xué)生的思維能力和思考方式。在概念等基礎(chǔ)知識的教學(xué)上應(yīng)著重加強(qiáng)逆向思維的教育。例如在概念中存在很多的“互為”關(guān)系，如“互為相反數(shù)”“互為倒數(shù)”等，教師可以利用這樣的概念來引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)方面分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，幫助學(xué)生建立雙向的思維模式。如果教師能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)、適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從命題的反面來思考問題，那么學(xué)生的逆向思維能力就會在基礎(chǔ)知識的教學(xué)中逐漸被開發(fā)出來。

2.強(qiáng)化逆向思維在解題方法上的滲透

①分析法。分析法注重由結(jié)論倒推需要得出解題答案的條

件，倒推過程中會發(fā)現(xiàn)解題需要的充分條件都在已知條件中，分析法可以幫助學(xué)生認(rèn)識到解題過程是可逆的，有助于學(xué)生逆向思

維能力的培養(yǎng)。②反證法。反證法就是利用已知條件推理論斷來證明命題的相反面不成立，從而證明命題成立，反證法屬于間接求證的方法，數(shù)學(xué)中的很多命題從正面得出結(jié)論是非常難的，這時(shí)一般都會采用反證法，加強(qiáng)學(xué)生對反證法應(yīng)用的鍛煉，有助于開發(fā)學(xué)生的逆向思維、拓展學(xué)生思維的深度和廣度。③舉反例法。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，若要證明某個(gè)命題是錯(cuò)的，除直接證明外，還可以采用舉反例的方式來證明。即找出一個(gè)符合命題的條件，但是在該條件下命題結(jié)論并不成立的例子，這樣就證明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，舉反例法需要學(xué)生從逆向來看待問題、解決問題。因此，加強(qiáng)學(xué)生舉反例的鍛煉，也可極大地開發(fā)學(xué)生的逆向思維能力。

數(shù)學(xué)作為一門重要的學(xué)科之一，學(xué)生十分有必要學(xué)好數(shù)學(xué)，

這樣學(xué)生才能更好地發(fā)展自身的學(xué)業(yè)。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的推動(dòng)下，逆向思維的應(yīng)用對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來講尤為重要。學(xué)生只有掌握好逆向思維的應(yīng)用，才能更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，拓展想象力，進(jìn)而有效拓展新的解題思路。

參考文獻(xiàn)：

篇11

所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，使其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和的形式，通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫做配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式，配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分廣泛。在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的最大值最小值以及解析式等方面，都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)之一，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種解題方法，在代數(shù)、幾何、三角的解題中起著重要的作用，因式分解的方法有許多，除課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法外，還可利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等來分解。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元。所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式中，用新的變元去代替原式的一個(gè)部分，或改造原來的式子，使它簡化，從而使問題易于解決。比如，在解分式方程時(shí)就會用到這種方法。

4、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，那么我們可以根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，然后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題。這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。在反比例函數(shù)、一次函數(shù)的問題中，經(jīng)常用到這種方法。

5、構(gòu)造法

在解題時(shí)，我們常常會采用這樣的方法：通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素（它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程（組）、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等），架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，稱為構(gòu)造法，運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、幾何、三角等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于問題的解決。

6、反證法

反證法是一種間接證法。它先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定原先的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的目的，反證法可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反面不只一種）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：⑴反設(shè)；⑵歸謬；⑶結(jié)論。

7、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)、定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它們來證明平面幾何題有時(shí)會收到事半功倍的效果，運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積法，它是幾何中的一種常用方法。在證明勾股定理時(shí)，我們就常常用面積法。