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【中圖分類號(hào)】O13
引 言
高等數(shù)學(xué)是所有數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，可以當(dāng)作整個(gè)數(shù)學(xué)的樹干.但是，大部分學(xué)生覺得此課程枯燥，難以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數(shù)學(xué)中函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念進(jìn)行探討，希望給學(xué)生有益的啟示.
一、函數(shù)可積與原函數(shù)存在沒有必然的聯(lián)系
本節(jié)首先給出與函數(shù)可積及原函數(shù)存在這兩個(gè)概念相關(guān)的三個(gè)定理.
定理1 （Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上可積；
（Ⅱ）若有界函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則y=f（x）在[a，b]
上可積；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上可積.
定理2 若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上原函數(shù)存在.
定理3 （Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上含有第一類間斷點(diǎn)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上
不存在原函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有無窮間斷點(diǎn)，則y=f（x）在[a，b]
上不存在原函數(shù).
二、通過反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)兩者互不蘊(yùn)含
本節(jié)將通過反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念互不蘊(yùn)含.
1.可積不一定存在原函數(shù)
2.存在原函數(shù)不一定可積
三、小 結(jié)
本文通過比較函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念，給出兩個(gè)經(jīng)典反例，揭示了二者互不蘊(yùn)含的關(guān)系.希望通過本文的探討，給學(xué)生有益的啟示，提升學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.
【參考文獻(xiàn)】
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
一、高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性的基本概念
高等數(shù)學(xué)中的一致連續(xù)性是從函數(shù)連續(xù)的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個(gè)微小變化的界限區(qū)間，如果函數(shù)定義域以內(nèi)的任意兩點(diǎn)間的距離永遠(yuǎn)不超過這個(gè)界限范圍，則這兩點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之差就能夠達(dá)到任意小、無限小，這就是所謂的函數(shù)一致連續(xù)性概念。一直以來，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)的概念都是教學(xué)過程中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一，在多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過程中，筆者深刻感受到學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)一致連續(xù)概念時(shí)的疑惑和困難。甚至有不少學(xué)生會(huì)有這樣的疑問：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別究竟體現(xiàn)在哪里？
帶著上述問題，我們對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性進(jìn)行研究和分析。函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)重要的特征和性質(zhì)，它標(biāo)志著一個(gè)連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”現(xiàn)象，并對(duì)其連續(xù)性進(jìn)行歸納總結(jié)。函數(shù)一致連續(xù)性，要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都保持著連續(xù)的特點(diǎn)，不允許出現(xiàn)“突變”現(xiàn)象，同時(shí)還進(jìn)一步要求它在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近有大體上呈現(xiàn)均勻變化的趨勢。換句話說，函數(shù)一致連續(xù)性的定義為：對(duì)于任給定的正數(shù)ε，要求存在一個(gè)與自變量x無關(guān)的正數(shù)δ，使對(duì)自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意2個(gè)值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數(shù)一致連續(xù)性的條件要比函數(shù)連續(xù)的條件強(qiáng)。在目前采用的高等數(shù)學(xué)的教材中，只是給出一致連續(xù)的基本定義，以及利用該定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而呈現(xiàn)出了函數(shù)一致連續(xù)的完美邏輯結(jié)果。這種教學(xué)理念是很好的，但是，從實(shí)踐教學(xué)效果上看，又很不利于學(xué)生對(duì)定義的理解，尤其不利于學(xué)生對(duì)定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學(xué)工作者將函數(shù)一致連續(xù)性概念中所隱含的知識(shí)逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學(xué)生更快更好地充分理解一致連續(xù)的概念和意義。高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的基本定義為：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)ε＞0，對(duì)于每一點(diǎn)x∈I，都存在相應(yīng)δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)。該定義說明了函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)的基本特征。函數(shù)一致連續(xù)的基本概念是：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)ε＞0，存在δ（＞0），使得對(duì)任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。要特別注意的是，連續(xù)概念中δ與一致連續(xù)概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數(shù)一致連續(xù)性概念，現(xiàn)將函數(shù)函數(shù)不一致連續(xù)的概念進(jìn)行一下描述：存在某個(gè)ε0，無論δ 是怎么樣小的正數(shù)，在I上總有兩點(diǎn)x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數(shù)不一致連續(xù)的概念，理解和學(xué)習(xí)函數(shù)不一致連續(xù)的相關(guān)知識(shí)，有利于我們更好地學(xué)習(xí)和研究函數(shù)一致連續(xù)性問題。
二、高等數(shù)學(xué)引入一致性連續(xù)性的意義和價(jià)值
高等數(shù)學(xué)教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性，以及函數(shù)列的收斂性與一致收斂性等，都是初學(xué)者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)問題。在工程數(shù)學(xué)中，這些概念非常重要，筆者認(rèn)為，搞清楚和弄明白函數(shù)的一致連續(xù)的基本概念，以及掌握判斷函數(shù)是否具有一致連續(xù)特性的基本方法，無疑都將是理工科學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性理論知識(shí)的核心環(huán)節(jié)，也是日后成熟運(yùn)用該數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)和前提。通過學(xué)習(xí)和比較，我們能夠得出一個(gè)很明顯的結(jié)論：一致連續(xù)要比連續(xù)條件強(qiáng)。高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)是一個(gè)很重要的概念，在微積分學(xué)以及其他工程學(xué)科中常常會(huì)用到一致連續(xù)的知識(shí)，而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切的相互關(guān)系。實(shí)際上，我們?cè)谶M(jìn)行函數(shù)列的收斂問題研究時(shí)，常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂等概念及其關(guān)系。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問題，證明某一個(gè)函數(shù)是否具有一致連續(xù)性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學(xué)感到無從下手。為了解決這一難點(diǎn)，達(dá)到化抽象為簡單的教學(xué)目的，筆者建議給出一致連續(xù)性的幾種常見等價(jià)形式，能夠很好地幫助學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)更易于理解和掌握函數(shù)一致連續(xù)性這一知識(shí)要點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)，也是教學(xué)大綱中的重點(diǎn)。因此，牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論知識(shí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。
函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義非常非常重要。數(shù)學(xué)分析抽象而且復(fù)雜難懂，這門學(xué)科本身就有著極強(qiáng)的邏輯思維和嚴(yán)密特征，主要體現(xiàn)在它能夠采用最簡明的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確表述其他語言無法量化的復(fù)雜多變的事物發(fā)展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程。其幾何意義將在高等數(shù)學(xué)課程入門中起到一個(gè)有利引導(dǎo)作用，清晰明朗地向?qū)W生展示高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法和思維方式，幫助學(xué)生理解抽象概念，提高學(xué)生培養(yǎng)自身的創(chuàng)新思維能力。另外，探討函數(shù)一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系，同時(shí)在有界區(qū)間上給出一致連續(xù)和一致收斂的等價(jià)關(guān)系，有利于學(xué)生在今后研究連續(xù)、收斂問題中擁有更多的參考依據(jù)。
三、解決高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的對(duì)策
1.一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性
由于用函數(shù)一致連續(xù)的定義判定函數(shù) 是否一致連續(xù)，往往比較困難。于是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡單的判別法。
定理1 若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 在 上一致連續(xù)。
這個(gè)定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊(cè)中，運(yùn)用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來證明。
分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)知，要證 在 上一致連續(xù)，即是要證對(duì) ，可以分區(qū)間 成有限多個(gè)小區(qū)間，使得 在每一小區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于 。
證明：若上述事實(shí)不成立，則至少存在一個(gè) ，使得區(qū)間 不能按上述要求分成有限多個(gè)小區(qū)間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個(gè)不能按上述要求分為有限多個(gè)小區(qū)間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續(xù)下去，就得到一個(gè)閉區(qū)間套 ，n=1，2，…，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點(diǎn)c滿足
（2-13）
且屬于所有這些閉區(qū)間，所以 ，從而 在點(diǎn) 連續(xù)，于是 ，當(dāng)時(shí)，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對(duì)于 上任意點(diǎn) ，都有 。因此，對(duì)于 上的任意兩點(diǎn) ，由（2-14）都有 。（2-15）
這表明 能按要求那樣分為有限多個(gè)小區(qū)間，這和區(qū)間 的取法矛盾，從而得證。定理1對(duì)開區(qū)間不成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況：（1）對(duì)于有限開區(qū)間，這時(shí)端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn)；（2）對(duì)于無限區(qū)間，這時(shí)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。
定理2函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)，且 與 都存在。
證明：若 在 內(nèi)一致連續(xù)，則對(duì) ，當(dāng) 時(shí)，有
，（2-16）
于是當(dāng) 時(shí)，有
。（2-17）
根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續(xù)， 與 都存在。
若 在 連續(xù)，且 和 都存在，則
令（2-18）
于是有 在閉區(qū)間 上連續(xù)，由Contor定理， 在 上一致連續(xù)，從而 在 內(nèi)一致連續(xù)。
根據(jù)定理2容易得以下推論：
推論1 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
推論2 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
當(dāng) 是無限區(qū)間時(shí)，條件是充分不必要的。
2.一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性
定理3 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 都存在。
證明：（1）先證 在 上一致連續(xù)。
令 ，由柯西收斂準(zhǔn)則有對(duì) 使對(duì) ，有
。 （2-19）
現(xiàn)將 分為兩個(gè)重疊區(qū)間 和 ，因?yàn)?在 上一致連續(xù)，從而對(duì)上述 ，使 ，且 時(shí)，有
。 （2-20）
對(duì)上述 ，取 ，則 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
（2）同理可證函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
由（1）、（2）可得 在 內(nèi)一致連續(xù)。
若將 分為 和 ，則當(dāng) 與 分別在兩個(gè)區(qū)間時(shí)，即使有 ，卻不能馬上得出 的結(jié)論。
由定理3還容易得出以下推論：
推論3 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論4 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
推論5 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論6 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
參考文獻(xiàn)：
[1]王大榮，艾素梅；分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的求導(dǎo)方法芻議[J]；滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)；2005年03期
【摘 要】一直以來，高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)困難、教學(xué)效果不顯著，給專業(yè)課程的學(xué)習(xí)帶來一定障礙。從教與學(xué)兩個(gè)不同的角度分析了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的問題后，給出了概念教學(xué)的對(duì)策。
關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念；教學(xué)
數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式，正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是課堂教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，如何教好概念課，讓學(xué)生深刻理解并準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)成績的前提，也是培養(yǎng)學(xué)生能力的關(guān)鍵。
1 高等數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)
高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)，它研究變量的運(yùn)動(dòng)過程、無限過程；初等數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，它研究靜態(tài)問題、均勻問題，高等數(shù)學(xué)從觀點(diǎn)到方法都和初等數(shù)學(xué)有著本質(zhì)的差異。高等數(shù)學(xué)的思想方法中，蘊(yùn)涵著豐富的辨證唯物主義的思想，表現(xiàn)出相互依存與相互轉(zhuǎn)換的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，如常量與變量的關(guān)系，有限與無限的關(guān)系，近似與精確的關(guān)系等。剛從中學(xué)跨入大學(xué)校門的新生，他們還習(xí)慣于用靜態(tài)、有限的方式來思考問題，所以教師在講授高等數(shù)學(xué)的概念時(shí)，要求學(xué)生在思維模式上有本質(zhì)的轉(zhuǎn)變，從常量轉(zhuǎn)向變量，從有限轉(zhuǎn)向無限，從而把握高等數(shù)學(xué)的基本思想和方法。
2 學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)狀
概念是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，基礎(chǔ)夯不堅(jiān)實(shí)會(huì)嚴(yán)重影響高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。在實(shí)際的教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)，每個(gè)教學(xué)班大概會(huì)有50%的學(xué)生雖然花大量的時(shí)間學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，上課認(rèn)真做筆記，恨不得把老師黑板上寫的每個(gè)字都記下來，下課也會(huì)做大量的習(xí)題，但到最后還是有30%左右的學(xué)生不能通過這門課程。無論是課堂提問還是與學(xué)生課后交流，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)普遍現(xiàn)象：60%左右的學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)中的概念不重視。我們做過一個(gè)小范圍的調(diào)查，調(diào)查400名學(xué)生學(xué)完《極限與連續(xù)》后對(duì)本章基本概念的掌握情況，此次調(diào)查結(jié)果大致是：完整說出極限和連續(xù)概念的人數(shù)為15%，大概了解極限和連續(xù)概念的人數(shù)為25%，對(duì)極限與連續(xù)有點(diǎn)印象的人數(shù)為20%，幾乎不知道極限與連續(xù)概念的人數(shù)為40%。在后續(xù)章節(jié)的教學(xué)中，我們又進(jìn)行了類似的調(diào)查，最終與期末考試的成績進(jìn)行對(duì)比，結(jié)論非常明顯：基本概念掌握好的同學(xué)無論是基礎(chǔ)題還是能力題都做的比較好；對(duì)高數(shù)概念一知半解、只會(huì)套公式的同學(xué)的基礎(chǔ)題還行，但是能力題的得分幾乎為零。高等數(shù)學(xué)的概念通常會(huì)以公式的形式出現(xiàn)，剛從中學(xué)跨入大學(xué)校門的新生，受中學(xué)教育的影響，把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)簡單歸納為背定理和公式，套定理和公式。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是會(huì)運(yùn)用定理和公式，更應(yīng)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)靈活處理實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力，這些能力需要在學(xué)習(xí)基本定義、定理的過程中慢慢積累，因此在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，概念的教與學(xué)是非常重要的環(huán)節(jié)。
3 高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性
高職教育強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)職業(yè)技術(shù)的掌握,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的應(yīng)用能力和實(shí)踐動(dòng)手能力，為此課時(shí)都主要放在專業(yè)課的教學(xué)和實(shí)習(xí)實(shí)訓(xùn)上，在高職的課程設(shè)計(jì)中基礎(chǔ)理論課教學(xué)時(shí)數(shù)一般都不多，高數(shù)老師在有限的課時(shí)內(nèi)，要系統(tǒng)完成一元微分學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，勢必每堂課包含的教學(xué)內(nèi)容會(huì)非常多，通常是高中課堂的三、四倍，因此在課堂上教師不可能像高中教學(xué)那樣通過反復(fù)講解和訓(xùn)練的方式達(dá)到既定教學(xué)目標(biāo)，只能靠講授基本的概念和定理，在理解概念的基礎(chǔ)上加深知識(shí)點(diǎn)的理解，這也培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力。我們對(duì)高等數(shù)學(xué)在后續(xù)專業(yè)課中運(yùn)用的廣度和深度做過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)專業(yè)課程對(duì)高等數(shù)學(xué)的需求絕大多數(shù)是基本概念和定理的運(yùn)用，因此更要突出概念教學(xué)。一般來說，理工類專業(yè)的后續(xù)課程都需要用到導(dǎo)數(shù)和微分，而復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是難點(diǎn)，絕大多數(shù)學(xué)生都學(xué)得不扎實(shí)，簡單常見的復(fù)合函數(shù)會(huì)求導(dǎo)，但碰到復(fù)雜一點(diǎn)、特別是分段函數(shù)的求導(dǎo)時(shí)，就會(huì)束手無策，這也使得專業(yè)課老師對(duì)高數(shù)老師頗多微詞。在學(xué)生的問卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：60%的學(xué)生不知道復(fù)合函數(shù)、基本初等函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的定義。在講解導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們?cè)诓煌慕虒W(xué)班做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，在甲教學(xué)班講復(fù)合求導(dǎo)法則時(shí)，先詳細(xì)復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)的分解和導(dǎo)數(shù)的定義，并且加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)定義類題目的訓(xùn)練，用定義推導(dǎo)了幾個(gè)基本函數(shù)的求導(dǎo)法則，對(duì)復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t做了簡單的說明，并要求學(xué)生記憶基本概念和定理；在乙教學(xué)班直接講解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，沒有對(duì)基本初等函數(shù)的概念，復(fù)合函數(shù)的分解進(jìn)行復(fù)習(xí)，把教學(xué)重點(diǎn)放在求導(dǎo)公式的記憶和應(yīng)用上，最后用同難度和數(shù)量的題目進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)的甲班對(duì)導(dǎo)數(shù)的掌握情況，無論從基礎(chǔ)題還是能力題都要比乙班好30%左右。雖然不同的教學(xué)班會(huì)有一些不確定的隨機(jī)因素影響結(jié)果，但一般來說差異不會(huì)這么大，所以概念教學(xué)是非常重要的。
積分在經(jīng)管類專業(yè)課程中使用較多，學(xué)生一般只會(huì)機(jī)械地套用基本的積分公式，解決簡單的積分問題，但由于積分公式比較多，學(xué)生感覺記憶負(fù)擔(dān)較重，碰到類型相近的問題經(jīng)?；煜@些問題產(chǎn)生的原因是學(xué)生對(duì)原函數(shù)的概念的理解不透徹，甚至有些學(xué)生連原函數(shù)的概念都說不出，更談不上靈活運(yùn)用積分了。如果學(xué)生能夠吃透原函數(shù)的概念，書本上那些基本積分表根本用不著記憶，它只不過是求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算，記住了求導(dǎo)公式，弄清楚了不定積分的概念，就能很容易記住積分表了。不過絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)原函數(shù)的概念只是停留在字面的理解，搞不清它的實(shí)質(zhì)，也就搞不清積分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，感覺不定積分學(xué)起來比較費(fèi)勁，從而給定積分的學(xué)習(xí)帶來很大的困難。
總之，無論是教還是學(xué)，為了讓高等數(shù)學(xué)這門工具性學(xué)科更好地服務(wù)于專業(yè)課，在高職教育“必須，夠用”的理念下，概念教學(xué)是解決諸多矛盾的行之有效的方法之一。
4 高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的注意事項(xiàng)
高等數(shù)學(xué)概念是一系列探索活動(dòng)的產(chǎn)物，我們應(yīng)該讓學(xué)生親歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過程，在暴露數(shù)學(xué)概念生成的思維方式上多下功夫，并注意揭示出概念的本質(zhì)，完成由較為直觀的表述向嚴(yán)格的形式化表述的轉(zhuǎn)化，把生動(dòng)活潑的理性思辨通過數(shù)學(xué)概念的生成傳導(dǎo)給學(xué)生，實(shí)施能動(dòng)的心理和智能的導(dǎo)引。高等數(shù)學(xué)的概念通常比較抽象和嚴(yán)謹(jǐn)，因此概念課容易給人枯燥乏味的感覺，學(xué)生會(huì)比較排斥它，教師在講課時(shí)，要講究一些技巧，把嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍钣猛ㄋ滓锥恼Z言描述（如原函數(shù)概念描述成導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，用加和減、乘與除的關(guān)系類比兩者的關(guān)系），可以用形象直觀的圖象語言來描述（如極限概念），也可以用專業(yè)課程中的專有名詞來描述概念，讓學(xué)生提前感受高數(shù)的作用（如經(jīng)管專業(yè)中的邊際就是導(dǎo)數(shù)）。另一方面，學(xué)生上概念課有一種錯(cuò)覺：為什么我把概念背得滾瓜爛熟，但不會(huì)解題呢？事實(shí)上，學(xué)生會(huì)背概念不一定表明他已獲得概念，真正意義上的獲得概念，就是運(yùn)用概念做出判斷和推理，能夠根據(jù)概念解決數(shù)學(xué)問題，因此教師在講授概念時(shí)不能就事論事，死摳書本，概念的引入要合乎邏輯, 更要合乎情理；概念之間要講究邏輯次序， 更要注意認(rèn)知次序。針對(duì)相同的數(shù)學(xué)概念， 不同的時(shí)代、不同的時(shí)間、不同的教學(xué)對(duì)象在理解的深度、側(cè)重點(diǎn)以及要求上都不相同，這要根據(jù)自己的理解選取不同的詮釋方法，體現(xiàn)各自的風(fēng)格。
參考文獻(xiàn)
［1］毛京中.高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2003,5,12(2).
［2］王華麗.高等數(shù)學(xué)中極限概念教學(xué)的思考[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào),2012(1).
［3］王樹禾.數(shù)學(xué)思想史[M].北京:國防工業(yè)出版社,2003.
高等數(shù)學(xué)的很多概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的延續(xù)，命題者往往以高等數(shù)學(xué)中的基本概念為切入點(diǎn)，命制一些高中數(shù)學(xué)教材中涉及到而未給出具體定義的，或是直接給出高等數(shù)學(xué)中的新概念的試題。學(xué)生需閱讀題目中所包含的信息，并將高等數(shù)學(xué)的信息與初等數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地結(jié)合來解決問題。
例1 （2004年復(fù)旦大學(xué)）若存在M，使任意 為函數(shù) 的定義域），都有 ，則稱函數(shù) 有界，問函數(shù) 在 上是否有界。
解析：否。取 ，則 當(dāng) 趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮。
評(píng)析：本題是以高等數(shù)學(xué)中的有界函數(shù)概念作為背景，來判斷函數(shù)是否為有界函數(shù)的一類試題。從所給的信息知道，判斷f(x)是D上的有界函數(shù)，是否存在M（M＞0且對(duì)任意x∈D），求|f(x)|的值域，要求學(xué)生有較強(qiáng)的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力。此題是通過取特殊值，確定函數(shù) 在 上可以趨向于無窮大，從而確定其不是有界的。
例2 (2010年復(fù)旦大學(xué))設(shè)集合 是實(shí)數(shù)集 的子集，如果點(diǎn) 滿足：對(duì)任意 ，都存在 ，使得 ，則稱 為集合 的聚點(diǎn)。用 表示整數(shù)集，則在下列集合： (1) ； (2)；(3) ；(4)整數(shù)集 中，以0為聚點(diǎn)的集合有()
A. (2) (3)B. (1) (4) C. (1)(3)D. (1)(2)(4)
解析：“聚點(diǎn)”這個(gè)概念根據(jù)定義，應(yīng)理解為以任意無窮小為半徑，以 為圓心的圓內(nèi)都至少有 的一個(gè)元素（不包括 ）。對(duì)集合（1） ，若取 ，則不存在 滿足 。顯然（2）、（3）是以0為聚點(diǎn)。對(duì)（4），若令 （不是唯一的取法，也可取 ，只要 均可），則也不存在 使得 ，綜上，應(yīng)選A。
評(píng)析：直接定義高等數(shù)學(xué)中“聚點(diǎn)”的概念，解此類新定義型題時(shí)應(yīng)在仔細(xì)閱讀分析材料的同時(shí)，要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)定義的實(shí)質(zhì)，尤其是定義中隱含的或特殊情形，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，通過對(duì)定義的仔細(xì)推敲和概念的全面認(rèn)識(shí)使問題獲解。
二、性質(zhì)型
以高等數(shù)學(xué)有關(guān)性質(zhì)為背景的自主招生試題經(jīng)常出現(xiàn)，例如函數(shù)圖像的凹凸性、拉格
朗日中值定理以及極限思想等。
例3 （2010年華中師范大學(xué)）已知當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的圖像如圖1所示。
（1） 設(shè) ，試用 的圖像說明
當(dāng) 時(shí)，不等式 ①成立。
（2） 利用（1）中不等式證明：若 ，則
對(duì)于任意的正數(shù) ，不等式 ②成立。
（3）當(dāng) ，且 時(shí)，求 的最小值。
解析：對(duì)于（1）要求利用圖像解釋不等式①成立，這就需要將代數(shù)語言轉(zhuǎn)化成幾何語言。在 的圖像中解析 的幾何意義，再利用這些幾何意義說明不等式①成立，從而有如下解法：
設(shè) ，由圖2可知，當(dāng) 時(shí)，有
即
對(duì)于（2）要求用不等式①證明不等式②，此時(shí)要求
學(xué)生明確不等式①成立的條件，并將不等式②與不等式①
作比較分析，選擇適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形方法。由于不等式①成立的條件是 ，將②式兩邊 次冪，則不等式②等價(jià)于 ③
由于 ，由①易得③。
對(duì)于（3），可由不等式①求解，
將 做適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形即有：
所以 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立。
還可由不等式②求解：
因?yàn)?故有 ，從而 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立。
評(píng)析：所謂“高等背景，初等解法”，沒有現(xiàn)成解法或套路可模仿，要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。
三、結(jié)論型
在高等數(shù)學(xué)中很多結(jié)論與中學(xué)數(shù)學(xué)比較靠近，這些既是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，也是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，其中某些結(jié)論只要稍加敘述和改造，就可以以中學(xué)數(shù)學(xué)的形式出現(xiàn)，這樣的試題既可以考察學(xué)生能力，又有利于高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的緊密結(jié)合。
例4(2010年南開大學(xué))求證：
解析：令
單調(diào)遞增。
又 ，
則 單調(diào)遞增。
分段函數(shù)是指在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同式子表示的一個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)在每段內(nèi)對(duì)應(yīng)的解析式是初等函數(shù),在分段點(diǎn)處的特性往往會(huì)發(fā)生很大的異常,這也是用作反例的重要價(jià)值。本文主要將一元分段函數(shù)作為反例,在高等數(shù)學(xué)中學(xué)生不易理解或者易混淆的幾個(gè)重要概念中進(jìn)行應(yīng)用。
1 初等函數(shù)與分段函數(shù)
由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算而形成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。由于分段函數(shù)是由幾個(gè)式子表示的函數(shù),有些老師講解初等函數(shù)的概念時(shí),只強(qiáng)調(diào)初等函數(shù)用一個(gè)式子表示,輕易地得出分段函數(shù)非初等函數(shù)的結(jié)論。事實(shí)上并非所有的分段函數(shù)都不是初等函數(shù)。
例如,函數(shù)y=3x+2,x?叟0x+2,x<0為分段函數(shù),但是該函數(shù)可以用y=2x+■+2一個(gè)式子表示,顯示該分段函數(shù)是初等函數(shù)。其實(shí)分段函數(shù)在滿足一定條件下是初等函數(shù),可參考文獻(xiàn)[2]。通過此分段函數(shù)例子可以加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)和初等函數(shù)概念的理解,并且擴(kuò)大學(xué)生的思維。
2 有界函數(shù)與函數(shù)值
若函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)有界,則稱f(x)在區(qū)間I內(nèi)為有界函數(shù)。初學(xué)有界函數(shù)概念的學(xué)生易與有限的函數(shù)值混淆。事實(shí)上函數(shù)有界是函數(shù)在研究區(qū)間整體的一個(gè)性質(zhì),函數(shù)值是某點(diǎn)按照對(duì)應(yīng)法則計(jì)算的結(jié)果,這兩個(gè)概念是整體和局部上的區(qū)別。
例如,分段函數(shù)f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0點(diǎn)的函數(shù)值為有限值■,但是對(duì)任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,從而知函數(shù)f(x)為無界函數(shù)。
3 函數(shù)極限與函數(shù)值
如果在xa的過程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地接近于常數(shù)A,則稱數(shù)A是函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的極限。初學(xué)函數(shù)極限的學(xué)生易想當(dāng)然的認(rèn)為函數(shù)的極限就是函數(shù)在點(diǎn)a處的函數(shù)值。事實(shí)上函數(shù)在點(diǎn)a處極限值的存在與該點(diǎn)處函數(shù)值無關(guān)。
例如,已知函數(shù)f(x)=■,x≠25,x=2,極限■f(x)=
■■=■(x+2)=4,而在x=2處的函數(shù)值f(x)=5≠4。
4 無窮大與無界函數(shù)
若對(duì)于任意給定的不論多么大的正數(shù)M,總存在δ>0,當(dāng)0<x-a<δ時(shí),有f(x)>M成立,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)xa時(shí)為無窮大。初學(xué)者常錯(cuò)誤的將無窮大等價(jià)為無界函數(shù)。事實(shí)上無窮大是在研究范圍內(nèi)為無界函數(shù),但反之不一定成立。無界是指自變量在定義域內(nèi),函數(shù)值沒有界限,但是可能并沒有一個(gè)趨勢。無窮大是在自變量的某個(gè)變化過程中有確定的趨勢。
例如,已知數(shù)列函數(shù)f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k為整數(shù)。顯然它是一個(gè)無界數(shù)列函數(shù),但當(dāng)n+∞時(shí),它不是無窮大,因?yàn)槠鏀?shù)子列是收斂的,極限值為0。
5 原函數(shù)和可積
Abstract: this article through the course of higher vocational higher mathematics nature, design idea, objective, teaching content, teaching methods and evaluation methods, compiling teaching materials, and other aspects of the design, the characteristics of higher vocational education outstanding, design science, and the actual curriculum standard
Keywords: high vocational colleges, the curriculum standard, the reform
中圖分類號(hào)：S611文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：
一、前言
1.課程性質(zhì)
高等數(shù)學(xué)課程是高職高專院校各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，是理工、財(cái)金類各專業(yè)的必修課之一。它對(duì)培養(yǎng)、提高學(xué)生的思維素質(zhì)、創(chuàng)新能力、科學(xué)精神、治學(xué)態(tài)度以及用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力都有著非常重要的作用?！陡叩葦?shù)學(xué)》課程既有鮮明理論性、知識(shí)性，還具有極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)性與實(shí)踐性，是推動(dòng)專業(yè)人才培養(yǎng)模式的改革和創(chuàng)新的一門重要的必修課程。
2．課程設(shè)計(jì)思路
依據(jù)課程的基本理念，根據(jù)專業(yè)群的需要，在內(nèi)容的選擇上，要從提高素質(zhì)和加強(qiáng)應(yīng)用的角度選擇教材的內(nèi)容，大膽取舍，以滿足專業(yè)崗位的需求。針對(duì)專業(yè)群的學(xué)生特點(diǎn)及專業(yè)課程數(shù)學(xué)的需求，增加專業(yè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用內(nèi)容，舍去不必要繁瑣證明，重新進(jìn)行組合，構(gòu)成專業(yè)群的數(shù)學(xué)課程體系。實(shí)施模塊化的、彈性的、互動(dòng)的、多層次的教學(xué)，以滿足職業(yè)崗位群的需求。打破傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制、打破現(xiàn)有教材系統(tǒng)的約束，將留下的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)內(nèi)容和增加的專業(yè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用內(nèi)容，進(jìn)行分析、改造、篩選、拆分和整合，然后理順，形成一套嶄新的教學(xué)內(nèi)容。這套內(nèi)容要弱化形式化的推理論證，強(qiáng)化知識(shí)的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值
二、課程目標(biāo)
通過對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠獲得專業(yè)課程需要使用，適應(yīng)職業(yè)崗位及終身學(xué)習(xí)所必需的重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能；使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方式去觀察、分析工程實(shí)際，從而進(jìn)一步增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和興趣；使學(xué)生具有一定的創(chuàng)新精神和提出問題分析問題解決問題的能力，從而促進(jìn)知識(shí)、素質(zhì)全面充分的發(fā)展。
三、教學(xué)內(nèi)容和具體標(biāo)準(zhǔn)
根據(jù)專業(yè)課程設(shè)置教學(xué)目標(biāo)和涵蓋的工作任務(wù)要求，確定課程內(nèi)容和要求，說明學(xué)生應(yīng)獲得的任務(wù)、知識(shí)和技能要求。
學(xué)習(xí)內(nèi)容 工作任務(wù) 知識(shí)要求 技能要求 專業(yè)相關(guān)案例 學(xué)時(shí)安排
1.
函數(shù)、
坐標(biāo)系 1.函數(shù)概念的建立
2.建立實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，建立簡單的數(shù)學(xué)模型。
3. 作簡單的函數(shù)圖像。
4．認(rèn)識(shí)空間常見圖形。 1. 理解函數(shù)概念及記號(hào)、表示法.
2.了解反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念。
3.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。
4.能列出簡單的實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系。
5.理解一般平面方程及其各種特殊情形。
6.了解球面和母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的方程與旋轉(zhuǎn)曲面的方程和圖形，了解空間曲線的參數(shù)方程，一般方程。 1. 會(huì)求函數(shù)的定義域并能用區(qū)間表示。
2.會(huì)求函數(shù)值及函數(shù)表達(dá)式。
3.能作簡單的函數(shù)圖像。
4.會(huì)求空間兩點(diǎn)間的距離。
5．會(huì)求簡單的平面方程。
2.
極限 1.由實(shí)際問題引出極限概念.
2.極限的運(yùn)算。
3.極限應(yīng)用 1.知道函數(shù)極限及左、右極限的概念，并能在學(xué)習(xí)過程中逐步加深對(duì)極限思想的理解。
2. 掌握極限的四則運(yùn)算法則。
3.會(huì)用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限。
4.了解無窮小與無窮大的概念，無窮小的性質(zhì)。 1.極限的運(yùn)算。
2.極限的應(yīng)用。
3.無窮大、無窮小的判定。 10
3.
連續(xù) 1.函數(shù)連續(xù)的有關(guān)概念。
2.間斷的概念及其求法。 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1.會(huì)判定函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性
2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判定其類型。 8
4
4.
微分學(xué) 1.研究導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)的有關(guān)問題 1、理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，并能用導(dǎo)數(shù)描述一些簡單的實(shí)際量。
2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的基本公式，會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，能熟練地求初等函數(shù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。
3、了解隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法。 1.導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義的應(yīng)用。
2.會(huì)求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
4.多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 12
2.研究微分及全微分的有關(guān)問題 1.理解函數(shù)微分和全微分的概念，知道全微分存在的充分條件。
2.掌握微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。 1.會(huì)求函數(shù)的微分和全微分。
2.會(huì)利用微分進(jìn)行近似計(jì)算。 4
3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1.了解羅爾定理和拉格朗日定理。
2.理解函數(shù)的極值概念。掌握求函數(shù)的極值、判斷函數(shù)的增減性與曲線的凹、凸性、求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)等方法。會(huì)求水平與鉛直漸近線。能描繪簡單函數(shù)圖形。會(huì)解較簡單的最大值、最小值的應(yīng)用問題。
3.會(huì)用洛必達(dá)法則求極限。 1.利用羅爾定理研究方程的根。
2.利用拉格朗日定理證明等式和不等式。
3.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限。
4.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。
5.利用導(dǎo)數(shù)求一元、二元函數(shù)的極值。
6.最值的實(shí)際應(yīng)用。 8
5.
積分學(xué) 1. 不定積分 1.理解不定積分的有關(guān)概念，了解其性質(zhì)。
2．熟悉不定積分的基本公式和運(yùn)算法則。熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。 積分運(yùn)算 12
2. 定積分及其應(yīng)用 1.理解定積分的概念與性質(zhì)。
2.掌握定積分的計(jì)算。
3.掌握牛頓—萊布尼茲公式。
4.掌握定積分的換元積分法和分部積分法.
5.會(huì)用定積分表達(dá)一些幾何量及物理量（如面積、體積、弧長、功等）的方法。掌握利用定積分的微元法求平面圖形的面積 1.積分運(yùn)算
2. 會(huì)計(jì)算定積分
3.利用定積分求幾何量和物理量。 10
6.常微分方程 1.解微分方程
2. 利用常微分方程解決實(shí)際問題 1.了解微分方程、階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2.熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3.知道二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。
4.熟練掌握二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法。
1.解微分方程
2.利用微分方程解決實(shí)際問題。 8
7.
矩陣及其運(yùn)算 1. 行列式2. 矩陣 1 矩陣的概念與運(yùn)算
2 行列式及計(jì)算
3 矩陣的初等變換及矩陣的秩
4 逆矩陣
12
合計(jì) 90
四、教學(xué)方法
采用啟發(fā)式講授、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、討論法、目的教學(xué)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、講練結(jié)合法和實(shí)例教學(xué)法等。教師根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容選擇不同的教學(xué)方法?？傊焊淖円越處煘橹行模瑥?qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，給學(xué)生以更多的活動(dòng)空間，讓他們積極地參與教學(xué)過程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。在課堂教學(xué)中注意精講精練，適當(dāng)增加課堂練習(xí)時(shí)間，以減少學(xué)生課外負(fù)擔(dān)。在教師講課中要貫徹設(shè)疑（提出矛盾）、析疑（分析矛盾）、解疑（解決矛盾）三個(gè)環(huán)節(jié)的啟發(fā)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象有好奇心，并能進(jìn)行獨(dú)立思考，提出解決問題的方法和探索問題的思路。教學(xué)中應(yīng)盡量使用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)等。提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果。
五、評(píng)價(jià)方式
教學(xué)評(píng)價(jià)分為過程評(píng)價(jià)（占20-40%）和結(jié)業(yè)評(píng)價(jià)（占60-80%）兩部分。
過程評(píng)價(jià)可以采取課堂評(píng)價(jià)、作業(yè)評(píng)價(jià)、階段測驗(yàn)評(píng)價(jià)、解決實(shí)際問題的創(chuàng)新能力評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式進(jìn)行。
結(jié)業(yè)評(píng)價(jià)是學(xué)期終結(jié)業(yè)考試的形式來評(píng)價(jià)學(xué)生。
六、教材編寫建議
根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，教材的內(nèi)容要以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度和少而精的原則，在保證科學(xué)性的基礎(chǔ)上，注意講清概念，減少數(shù)理論證，注重學(xué)生基本運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力的培養(yǎng)，重視理論聯(lián)系實(shí)際，內(nèi)容通俗易懂，既便于教師教，又便于學(xué)生學(xué)，努力體現(xiàn)高等職業(yè)技術(shù)教育特色。在內(nèi)容的組織上，在保證相對(duì)系統(tǒng)性的前提下，突出以問題解決為核心來組織編排內(nèi)容，并及時(shí)配備與教材內(nèi)容吻合，靈活多樣難度量適中的習(xí)題。在內(nèi)容的呈現(xiàn)上要形式多樣化，力爭將抽象的內(nèi)容形象化，這樣就要求文字描述簡潔明快流暢、多配圖形，版面整潔新穎，從而編寫出具有自身特色，為師生所喜愛的教材。
參考文獻(xiàn)：
1．侯風(fēng)波主編的《高等數(shù)學(xué)》及《高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練教程》（教育部高職高專規(guī)劃教材），北京，高等教育出版社。
2．同濟(jì)大學(xué)、天津大學(xué)、浙江大學(xué)、重慶大學(xué)編寫的《高等數(shù)學(xué)》（教育部高職高專規(guī)劃教材），北京，高等教育出版社。
《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程是大學(xué)本科理工科類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論主要是在研究流體力學(xué)、電力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)以及理論物理學(xué)中發(fā)展起來的，為解決這些學(xué)科的一些實(shí)際問題起了相當(dāng)大的作用。復(fù)變函數(shù)與積分變換理論和數(shù)學(xué)的其他分支也有密切聯(lián)系。復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有著重要的應(yīng)用；積分變換中的傅立葉變換在微分方程、積分方程、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)論、泛函分析學(xué)以及數(shù)論等學(xué)科中都是重要的工具。即使是最簡單的函數(shù)，比如多項(xiàng)式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，也只有在復(fù)變函數(shù)中才能體現(xiàn)其本質(zhì)。另外，作為一種特別有用的工具，復(fù)變函數(shù)當(dāng)中的留數(shù)理論可以用來解決很多高等數(shù)學(xué)中難以解決的問題。因此，復(fù)變函數(shù)與積分變換以它的完美的理論與精湛的技巧成為大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。
雖然《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課程有著重要的作用，不過大部分高校對(duì)此課程設(shè)置的課時(shí)都比較少，基本上都是三十二學(xué)時(shí)或者四十八學(xué)時(shí)，相對(duì)于《高等數(shù)學(xué)》來說，這些課時(shí)是非常有限的。在有限的時(shí)間內(nèi)，如何能讓學(xué)生充分利用每周的少量課時(shí)，理解和掌握這門課程的精髓，并為以后的各門專業(yè)課打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這一點(diǎn)對(duì)于每一位授課老師以及學(xué)生來說都是極其重要的。以下根據(jù)我任教十幾年來對(duì)該門課程的理解，簡單談?wù)勎覍?duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的幾點(diǎn)看法。
1 總結(jié)同一概念和性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)中的相似與不同，加強(qiáng)理解和記憶
《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課程的內(nèi)容主要有兩部分，前半部分是復(fù)變函數(shù)，后半部分是積分變換。其中復(fù)變函數(shù)以理論為主，積分變換以應(yīng)用為主。復(fù)變函數(shù)是以高等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)域向復(fù)數(shù)域的擴(kuò)展，因此復(fù)變函數(shù)中的大部分概念都是和高等數(shù)學(xué)的概念類似，性質(zhì)也基本上都是相同的。其中第一章復(fù)變函數(shù)的概念中，區(qū)域的概念，復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限的概念，復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等和實(shí)數(shù)域中相似；第三章復(fù)變函數(shù)的積分中，積分的概念和實(shí)數(shù)域的定積分，重積分的概念一致，都是通過對(duì)所求變量按照“分割，近似替代，求和，取極限”這四個(gè)過程來定義的；第四章級(jí)數(shù)中，復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)也與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)的概念一致。在講授這些內(nèi)容的時(shí)候，任課老師可以先和同學(xué)們一起簡單的回憶《高等數(shù)學(xué)》中的概念和性質(zhì)，與復(fù)變函數(shù)結(jié)論有區(qū)別的地方可以重點(diǎn)說明，接著講解新內(nèi)容，相似點(diǎn)可以直接類比，對(duì)于不同的地方需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，而且可以啟發(fā)學(xué)生去思考不同之處的根源。復(fù)變函數(shù)中的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是無界函數(shù)，指數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)等，這些內(nèi)容如果任課教師在講臺(tái)上只是一味的照本宣科，學(xué)生會(huì)覺得這是內(nèi)容的重復(fù)，聽起課來肯定興趣不高；如果老師能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓他們自己去帶著問題思考，帶著問題聽課，讓他們自己找到相似點(diǎn)和區(qū)別，不僅師生之間可以有良好的互動(dòng)性，學(xué)生也會(huì)對(duì)自己總結(jié)的這些知識(shí)加深印象。
2 把握側(cè)重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)課程的特色
《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這門課的課時(shí)一般不多，但是它包含的內(nèi)容卻很多，因此要想在比較少的時(shí)間內(nèi)將所有的內(nèi)容都詳細(xì)的介紹，那肯定是不可能的。授課老師在上課之前應(yīng)該掌握該課程的側(cè)重點(diǎn)，合理的安排好每個(gè)章節(jié)的授課時(shí)間。在第一章復(fù)變函數(shù)中，復(fù)數(shù)的輻角和復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的三角表示和幾何表示以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算是以后各章內(nèi)容的基礎(chǔ)，這部分內(nèi)容只有講透，學(xué)生才能在以后的學(xué)習(xí)中有個(gè)扎實(shí)的基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)域中的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是唯一的一個(gè)點(diǎn)，很多課時(shí)少的學(xué)校將這部分內(nèi)容作為選講內(nèi)容，但我個(gè)人認(rèn)為這是個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)可以在很多時(shí)候簡化計(jì)算量，是個(gè)很有用的工具，而且在積分變換的內(nèi)容中也會(huì)涉及到這方面的知識(shí)，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)一下；第二章解析函數(shù)中，解析函數(shù)以及解析函數(shù)的充要條件是重點(diǎn)，也是研究復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的前提；第三章復(fù)變函數(shù)的積分，這部分內(nèi)容可以簡單介紹原理，為以后介紹洛朗級(jí)數(shù)和留數(shù)做前提；至于用柯西積分公式，柯西古薩定理和高階導(dǎo)數(shù)公式去計(jì)算封閉曲線的積分可以簡單讓學(xué)生理解；第四章級(jí)數(shù)，洛朗級(jí)數(shù)是重點(diǎn)，任課老師要讓學(xué)生理解洛朗級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，并學(xué)會(huì)如何將同一復(fù)變函數(shù)在不同點(diǎn)，不同的圓環(huán)域內(nèi)，展開成洛朗級(jí)數(shù)；第五章留數(shù)是個(gè)新的概念，也是復(fù)變函數(shù)的核心，對(duì)學(xué)生來說是個(gè)全新的知識(shí)，任課老師在講授這部分內(nèi)容時(shí)可以適當(dāng)放慢速度，利用解析函數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的相關(guān)理論讓學(xué)生理解核心概念-留數(shù)的定義，掌握利用留數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)去解決積分問題的方法。留數(shù)是復(fù)變函數(shù)理論當(dāng)中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，留數(shù)理論也可以用來解決一些高等數(shù)學(xué)中很難求解的積分問題。這樣學(xué)生可以感受到復(fù)變函數(shù)除了是實(shí)數(shù)域中理論的拓展，還可以反過來解決實(shí)數(shù)域中的很多難題。
3 積分變換是一個(gè)工具，側(cè)重于應(yīng)用
積分變換中主要有兩個(gè)積分變換-傅立葉變換和拉普拉斯變換。這兩個(gè)變換是相互聯(lián)系又有區(qū)別。傅立葉變換是由周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)推廣得到的，拉普拉斯變換是在傅立葉變換的基礎(chǔ)上優(yōu)化得來的，這一部分的概念可以簡單講解。積分變換部分關(guān)鍵是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用這兩個(gè)工具解決一些實(shí)際問題，比如在現(xiàn)代信號(hào)處理的應(yīng)用等等；也可以增加一些時(shí)尚的和生活實(shí)際的應(yīng)用問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然這也對(duì)授課老師提出了較高的要求，要求教師能夠?qū)Ψe分變換的可能的應(yīng)用領(lǐng)域以及在其他實(shí)際中的用途等多方面的知識(shí)都有了解，以方便在教學(xué)中隨時(shí)可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。
4 結(jié)合多媒體，縮短板書時(shí)間；縮短上課的周期，提高效率
復(fù)變函數(shù)中有部分概念需要很強(qiáng)的空間想象能力，例如基本初等函數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的模與輻角、復(fù)球面的概念，函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)等；積分變換部分，工程上經(jīng)常出現(xiàn)的單位脈沖函數(shù)，這些對(duì)于剛剛接觸到這門課程的學(xué)生來說，都是是非常抽象的。如果可以通過多媒體軟件展示這些概念，就會(huì)直觀的多，學(xué)生也容易理解。對(duì)工科的大部分學(xué)生來說，復(fù)變函數(shù)與積分變換只是一個(gè)解決問題的工具，很多結(jié)論沒有必要要求學(xué)生去掌握具體原因，只需要學(xué)會(huì)并熟練運(yùn)用結(jié)論就可以了。比如第三章的柯西-古薩定理，復(fù)合閉路定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式等這些結(jié)論，學(xué)生只要能會(huì)運(yùn)用就可以了。但是這幾個(gè)結(jié)論相對(duì)來說都很長，如果授課老師板書到黑板上需要浪費(fèi)很多時(shí)間，如果只是照著課本念一下，學(xué)生又沒有什么印象。利用電子ppt，在每次需要用的時(shí)候可以直接拿出來，而且可以針對(duì)每個(gè)結(jié)論，對(duì)應(yīng)的舉例說明，那樣就可以節(jié)省不少的時(shí)間。
最后對(duì)于小學(xué)時(shí)的課程，希望能夠縮短上課的周期，變成前半學(xué)期或者后半學(xué)期教學(xué)。這一點(diǎn)部分高校已經(jīng)開始實(shí)行，一周一次的課程教學(xué)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)有一周兩三次的效果好。
當(dāng)然授課老師在課堂上為了增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以適當(dāng)滲透一些現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)提供一些接口；聯(lián)系其他相關(guān)課程的知識(shí)和工程實(shí)際應(yīng)用，以加強(qiáng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。比如利用留數(shù)計(jì)算積分是復(fù)變函數(shù)理論中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，課堂上除了詳細(xì)介紹這些之外也可以介紹一下留數(shù)計(jì)算的物理應(yīng)用，如在數(shù)字濾波器性能分析和形狀設(shè)計(jì)中的應(yīng)用等，這對(duì)于部分同學(xué)來說也是激起他們學(xué)習(xí)興趣的一些理由。
【參考文獻(xiàn)】
中圖分類號(hào)：O13
1， 反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
高等數(shù)學(xué)的反例是指符合某一個(gè)命題的條件，但又和此命題結(jié)論相矛盾的例子。正確的命題需要嚴(yán)密的證明，錯(cuò)誤的命題則靠反例否定。
1.1 有助于基本概念的深化理解
關(guān)于二元函數(shù)的極限的概念，現(xiàn)在的描述性定義盡管比過去的“ ”定義簡單，但 是表示點(diǎn) 以任何方式接近于點(diǎn) ，所以在討論極限是否存在時(shí)，只要選擇兩條不同路徑，而按這兩條路徑計(jì)算的極限值不同，既可說明極限不存在。
例 討論二元函數(shù)
是否存在極限？
解 當(dāng)點(diǎn) 沿直線 趨于點(diǎn) 時(shí)，有
，當(dāng)點(diǎn) 沿直線 趨于點(diǎn) 時(shí)，有 。可見沿不同路徑函數(shù)趨于不同值，該函數(shù)的極限不存在。又
同理可得 ，二元函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，但其偏導(dǎo)數(shù)卻存在。但對(duì)于一元函數(shù)是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。
1.2 有助于基本定理的理解掌握
在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)生對(duì)定理?xiàng)l件和結(jié)論之間的“充分”、“必要”性的理解通常是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。而反例使學(xué)生打開眼界，拓寬思路，從而全面正確理解高等數(shù)學(xué)的基本定理。拉格朗日定理是微積分的基本定理，關(guān)于它的學(xué)習(xí)，一般先介紹定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少薦在一點(diǎn) ，使得
成立），再結(jié)合圖形給予證明。對(duì)給定的具體函數(shù)，要求能夠判斷其是否在所給區(qū)間上滿足指定的定理的條件，并能求出滿足定理中的 。
1.3 有助于錯(cuò)誤命題的有效糾正
在一元函數(shù)中有兩個(gè)重要結(jié)論。一是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；二是若f （x）在某某區(qū)間（a， b）內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn) ，而且從實(shí)際問題本身又能夠知道f （x）在該區(qū)間內(nèi)必定有最大值或最小值.則 就是所要求的最大值或者最小值。按照常規(guī)的思維模式，人們很自然把它們推廣到二元函數(shù)。
2 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的應(yīng)用
在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)反例思想的滲透，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一些基本概念和定理的學(xué)習(xí)和理解，并能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步提高教學(xué)效果。
2.1 恰當(dāng)構(gòu)造反例，加深對(duì)概念的理解
理解概念是學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是其能力培養(yǎng)的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識(shí)，嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質(zhì)。在高等數(shù)學(xué)的極限概念教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，會(huì)得到事半功倍的效果。在極限概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生認(rèn)為：①有界函數(shù)的極限一定存在；
②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述兩種想法都是錯(cuò)誤的.對(duì)于①構(gòu)造反例
因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 不能無限接近于一個(gè)確定的常數(shù) ，所以，極限 不存在，對(duì)于②構(gòu)造反例 ，
2.2正確應(yīng)用反例，加深對(duì)定理的理解
定理教學(xué)中，反例和證明具有同等重要的地位，通過嚴(yán)密的證明才能夠肯定一個(gè)命題的正確性，而巧妙的反例即可否定一個(gè)命題的正確性。
在高等數(shù)學(xué)的定理教學(xué)中，正確地應(yīng)用反例，能夠全面地理解定理的條件和結(jié)論，更好地應(yīng)用定理解決問題。關(guān)于羅爾定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)；. 。則在（（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 成立）的教學(xué)，因?yàn)樗皇抢窭嗜盏奶乩?，一般是結(jié)合圖形給予說明，不做重點(diǎn)講解。但能夠應(yīng)用反例加深對(duì)定理的理解，說明羅爾定理的三個(gè)條件是使 成立的充分條件，而不是必要條件。
2.3 有效利用反例，糾正習(xí)題中的錯(cuò)誤
學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)需要解題，在解題中要鼓勵(lì)學(xué)生從多方面進(jìn)行思考，多角度進(jìn)行探索，挖掘新思路：鼓勵(lì)學(xué)生去聯(lián)想發(fā)揮，改變條件，對(duì)習(xí)題進(jìn)行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短的時(shí)間內(nèi)，較直觀地反映出錯(cuò)誤所在，而且，由此往往能產(chǎn)生正確的途徑。
“反例”揭示了數(shù)學(xué)上這種“失之毫厘，差之千里”的特點(diǎn)，達(dá)到了教學(xué)中那種“打開眼界，拓寬思路”的效果。所以，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，廣大教師應(yīng)重視和恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例。
參考文獻(xiàn)
究其原因有以下幾點(diǎn)；一是學(xué)生抽象概括能力欠缺。從客觀世界的現(xiàn)實(shí)中抽象概括出數(shù)學(xué)概念，對(duì)接受過高中教育的人而言，應(yīng)該初步具備了這種能力。但目前高職學(xué)生這方面能力普遍較差。二是學(xué)生對(duì)極限思想和方法的不適應(yīng)。由于高等數(shù)學(xué)是建構(gòu)在極限理論的基礎(chǔ)上、以極限為基本工具研究函數(shù)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，因此，研究問題的思維方式總體上由“靜態(tài)”變成了“動(dòng)態(tài)”。而函數(shù)的連續(xù)性是運(yùn)用極限理論定義的第一個(gè)概念，學(xué)生對(duì)于運(yùn)用極限思想刻畫函數(shù)的這種動(dòng)態(tài)特性，需要一個(gè)適應(yīng)過程。三是教材的簡化?，F(xiàn)在選用的高職高專《高等數(shù)學(xué)》規(guī)劃教材，在“必需、夠用”原則的指導(dǎo)下，降低了理論難度、簡化了知識(shí)內(nèi)容。多數(shù)教材的“函數(shù)連續(xù)性”一節(jié)直接給出函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義，缺少必要的例證加以輔助。學(xué)生很難通過閱讀教材理解函數(shù)連續(xù)的概念。針對(duì)上述原因，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)著重抓住以下幾點(diǎn)，幫助學(xué)生建立起函數(shù)連續(xù)性的概念。
函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征
要理解函數(shù)連續(xù)的概念，首先要抓住連續(xù)的本質(zhì)特征。自然界中植物的生長、河水的流動(dòng)、溫度的變化等等現(xiàn)象，都是連續(xù)變化著的，把這種現(xiàn)象進(jìn)行抽象，反映在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性。如果只是這樣概括，學(xué)生對(duì)連續(xù)本質(zhì)特征的把握是不到位的。此時(shí)可再從以下現(xiàn)象分析：兩個(gè)人幾天不見，再次見面時(shí)并沒有感覺到彼此的變化，難道這幾天倆人真是都沒有變化嗎？顯然不是。人從出生到衰亡，時(shí)時(shí)刻刻都處在連續(xù)變化之中，盡管這種變化很微小，不宜察覺，但它是不間斷的。如果我們從函數(shù)的角度分析，上述現(xiàn)象就相當(dāng)于函數(shù)的自變量在某一區(qū)間段上連續(xù)變化時(shí)，因變量也隨之連續(xù)變化，即使自變量的變化很微小，因變量也會(huì)隨之有微小的變化。經(jīng)過的這樣分析，學(xué)生就能較好地把握函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征了。
函數(shù)連續(xù)性的研究方法
函數(shù)的連續(xù)性反映了現(xiàn)實(shí)世界中連續(xù)的動(dòng)態(tài)變化現(xiàn)象，如同一個(gè)動(dòng)點(diǎn)能夠沿著一條延綿不斷的曲線運(yùn)動(dòng)。如何才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，研究函數(shù)的連續(xù)問題必須先從研究函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)開始呢？我們從自然界的連續(xù)現(xiàn)象中很容易認(rèn)識(shí)到一個(gè)斷點(diǎn)就能打破一條連續(xù)鏈。同樣，觀察函數(shù)的圖像也會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的曲線也呈現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，如動(dòng)點(diǎn)在曲線y=sinx上可以順暢地移動(dòng)，而在曲線y=tanx或f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0上移動(dòng)時(shí)，會(huì)在點(diǎn)x=kπ+，（k∈Z）或x=0處被“卡住”。通過這樣的觀察分析，學(xué)生就很容易歸納出：曲線上一個(gè)點(diǎn)便可決定一個(gè)函數(shù)在某個(gè)定義區(qū)間上的連續(xù)性。這樣，函數(shù)連續(xù)的問題就歸結(jié)到了研究函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)。
用什么方法確定函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)呢？函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)是一個(gè)局部概念，反映了函數(shù)在一點(diǎn)處兩個(gè)變量增量間的變化關(guān)系，即當(dāng)函數(shù)的自變量有一微小變化時(shí)，因變量也隨之有一微小變化。如果利用初等數(shù)學(xué)的方法刻畫這種關(guān)系，顯然是行不通的，只有借助于極限工具進(jìn)行深入的分析研究。通過教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生便會(huì)知道要想解決函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)的問題必須運(yùn)用極限的思想方法。
函數(shù)連續(xù)性的定義
一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成過程，是人們對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行探索歸納、抽象概括的過程。教學(xué)上如果對(duì)這一過程進(jìn)行情境再現(xiàn)，不僅可以使學(xué)生了解概念的形成背景，而且對(duì)學(xué)生理解掌握概念的本質(zhì)及其應(yīng)用大有益處。若只是“填鴨式”傳授，把概念直接灌輸給學(xué)生，效果可想而知，也失去了通過數(shù)學(xué)教學(xué)過程對(duì)學(xué)生進(jìn)行觀察分析、抽象概括能力培養(yǎng)的作用。
講授“函數(shù)連續(xù)性”一節(jié)時(shí)，可以先借助多媒體給學(xué)生播放植物的生長、河水的流動(dòng)、汽車在高速路上奔跑等連續(xù)現(xiàn)象，再播放一棵大樹被攔腰截?cái)?、一條大壩截住河水流動(dòng)、一座斷裂的橋梁造成車輛停滯不前等不連續(xù)現(xiàn)象，與學(xué)生一起分析探索上述現(xiàn)象引出函數(shù)連續(xù)尤其是在一點(diǎn)上的連續(xù)的問題，并形成定義。
通常，關(guān)于函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)的定義有兩種形式：
定義1：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量x=x-x0趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量y=f（x0+x）-f（x0）也趨于零，即y=0，那么就稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)。
定義2：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f（x）當(dāng)xx0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f（x0），即f（x）=f（x0），那么就稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)。
不同的教材，給出兩個(gè)定義的順序不同。無論哪種順序，關(guān)鍵是使學(xué)生理解并掌握函數(shù)y=f（x）要在點(diǎn)x0連續(xù)，必須滿足條件f（x）=f（x0）或y=0。為了使學(xué)生搞清楚條件的含義，教學(xué)時(shí)可以從反例入手，借助函數(shù)的圖像加以分析。
若先講定義2可以列舉以下實(shí)例：
例1：考察函數(shù)y=在點(diǎn)x=1處的變化情況。
如圖1所示，函數(shù)y=的圖像是直線y=x+1去掉了點(diǎn)（1，2），顯然函數(shù)y=在點(diǎn)x=1處就像一條繩子被剪斷為兩截不再連續(xù)，究其原因是函數(shù)在此點(diǎn)沒有定義。
例2：考察函數(shù)f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在點(diǎn)x=0處的變化情況。
如圖2所示，函數(shù)f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在點(diǎn)x=0處出現(xiàn)了“跳躍”斷開了，這種斷開不是因?yàn)闆]有定義造成的。學(xué)生要問是什么原因造成的呢？這時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從極限角度進(jìn)行分析，由f（x）=0，f（x）=2，可知f（x）=0不存在，由此便知，函數(shù)在有定義無極限的點(diǎn)處不連續(xù)。
例3：考察函數(shù)f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在點(diǎn)x=1處的變化情況。
如圖3所示，函數(shù)f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在點(diǎn)x=1處遇到了“陷阱”。直觀觀察，函數(shù)在處的函數(shù)值不是f（1）=12+1=2，而是f（1）=0.9。再進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)x=1處有定義極限也存在，可是f（x）=2，與函數(shù)值f（1）=0.9不相等，所以出現(xiàn)了“陷阱”。
三例過后進(jìn)行小結(jié)，得出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處若遇到下列三種情況之一就會(huì)不連續(xù)：（1）沒有定義；（2）有定義、極限不存在；（3）有定義、極限存在、但極限值與函數(shù)值不相等。這時(shí)善于思考的學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生下列想法：“當(dāng)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處同時(shí)滿足了有定義、極限存在、極限值與函數(shù)值相等三個(gè)條件時(shí)，情況會(huì)是怎樣呢？”這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察連續(xù)函數(shù)曲線在一點(diǎn)上的狀況。
例4：考察函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的連續(xù)情況。
通過看該函數(shù)的圖像發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處沒有斷開是連續(xù)的，并且同時(shí)滿足上述三個(gè)條件。這樣學(xué)生就可以比較充分地認(rèn)識(shí)到：函數(shù)要在一點(diǎn)上連續(xù)，必須滿足條件f（x）=f（x0），以及其中的含義。從幾何角度分析，動(dòng)點(diǎn)在經(jīng)過曲線上的一點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷了沿著曲線無限接近于這一點(diǎn)的過程，如果函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，動(dòng)點(diǎn)就能到達(dá)此點(diǎn)并順利通過，否則就會(huì)被“卡住”。
在講解定義1時(shí)也可以采取同樣的方法，使學(xué)生理解函數(shù)y=f（x）要在點(diǎn)x0連續(xù)，必須滿足條件y=0?？梢越柚铝泻瘮?shù)的圖像進(jìn)行直觀地分析。假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處有增量x，當(dāng)時(shí)x0時(shí)，由圖4所示的函數(shù)中發(fā)現(xiàn)，其相應(yīng)函數(shù)的增量yA（A≠0），即y=A≠0。從圖5所示的函數(shù)中看出，相應(yīng)函數(shù)的增量y不能夠收斂于一個(gè)確定的常數(shù)，從而導(dǎo)致y不存在。在圖6所示的函數(shù)中，相應(yīng)函數(shù)的增量y∞，即y=∞。以上三種情況，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0都是不連續(xù)的，三個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x0處都不滿足條件y=0。而在圖7所示的函數(shù)中，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，而條件y=0恰恰在點(diǎn)x0處得到了滿足。這樣就加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處滿足條件y=0就連續(xù)的理解。而條件y=0刻畫了函數(shù)連續(xù)的實(shí)質(zhì)：當(dāng)自變量有一微小變化時(shí)，因變量也會(huì)隨之有一微小的變化。
函數(shù)連續(xù)性的整體概念
如果只將函數(shù)的連續(xù)性局限在一點(diǎn)上連續(xù)的層面上，還不能全面把握函數(shù)連續(xù)的概念。如當(dāng)考察函數(shù)y=sinx在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性時(shí)，根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，由等式sinx=0=f（0）便知函數(shù)y=sinx在點(diǎn)x=0處是連續(xù)的。而當(dāng)考察函數(shù)y=sinx在其定義域（-∞，+∞）上的連續(xù)性時(shí)，該如何進(jìn)行呢？這需要進(jìn)一步建立起函數(shù)連續(xù)性的整體概念。
一般的，知道了怎樣判定函數(shù)在一點(diǎn)上連續(xù)后，應(yīng)給出函數(shù)在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)的概念，即在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)y=f（x），必須在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。根據(jù)上述要求，在探討函數(shù)y=sinx在（-∞，+∞）上連續(xù)的問題時(shí)，要說明y=sinx在（-∞，+∞）內(nèi)的“每一點(diǎn)”都連續(xù)，顯然逐點(diǎn)驗(yàn)證是不可能的，如果能夠?qū)ふ业娇梢浴按怼泵恳稽c(diǎn)的“點(diǎn)”，通過證明函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，進(jìn)而就可說明函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。
經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，只要在區(qū)間（-∞，+∞）上設(shè)出任意一點(diǎn)，用“任一點(diǎn)”代替“每一點(diǎn)”加以證明即可使問題得到解決，這也正是數(shù)學(xué)簡約美之所在。如果考察函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)性，不僅要求它在區(qū)間（a，b）上連續(xù)，而且還要滿足在區(qū)間的左端點(diǎn)a處右連續(xù)，右端點(diǎn)b處左連續(xù)。至此，關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的概念就完整了，學(xué)生就會(huì)達(dá)成這樣的共識(shí)：函數(shù)的連續(xù)是動(dòng)態(tài)變化的，是通過函數(shù)在其定義區(qū)間上的每個(gè)點(diǎn)上的連續(xù)實(shí)現(xiàn)的。連續(xù)函數(shù)的圖形呈現(xiàn)為一條連綿不斷的曲線。
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摘要:為了讓大一新生盡快適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),本人認(rèn)為加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是一個(gè)起關(guān)鍵作用的環(huán)節(jié)。
對(duì)于剛邁進(jìn)大學(xué)的理工科的學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)是首當(dāng)其沖的一門重要的基礎(chǔ)課。很多新生一時(shí)還難以適應(yīng)，常常產(chǎn)生各種各樣的問題。如何幫助學(xué)生度過這一“非常時(shí)期”，使之盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門主要的基礎(chǔ)課？筆者認(rèn)為，加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是一個(gè)起關(guān)鍵作用的環(huán)節(jié)。
一、正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的前提
無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)總是從繁雜紛紜的客觀世界中抽象出一系列的數(shù)學(xué)概念，然后以這些概念為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理的判斷和推理，引出一些定理和公式，形成一個(gè)理論體系，然后把“這些符合論理的結(jié)論”應(yīng)用到新的應(yīng)用領(lǐng)域或?qū)嶋H問題中，因此可以說，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)應(yīng)成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的核心與重點(diǎn)，它是教師教好與學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。只有當(dāng)教師深刻全面地理解了概念的內(nèi)涵與本質(zhì)之后，才能透徹地講解給出來，學(xué)生才能很好的接受，才能以此為基礎(chǔ)進(jìn)行推理、判斷、分析等思維活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)理論體系的來龍去脈，掌握運(yùn)算的技能技巧。從而獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)方法去分析問題與解決問題的能力。
在初等數(shù)學(xué)中，大多數(shù)概念都比教具體直觀，學(xué)生容易接受，再加上課時(shí)較多，進(jìn)度較慢，教師由淺入深，亦步亦趨，使一般學(xué)生都不會(huì)對(duì)接受新概念感到很困難。即使有一些學(xué)生不重視概念學(xué)習(xí)只注意計(jì)算方法與技巧，但在長期與大量的練習(xí)中，由于反復(fù)接觸，潛移默化，不知不覺地對(duì)概念由知之不多過度到知之較多，逐步掌握了概念。但在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，情況發(fā)生了很大的改變，高等數(shù)學(xué)是研究變量的數(shù)學(xué)，常常需要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來討論，因此更顯得抽象、復(fù)雜。例如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念都是初學(xué)者所不能透徹理解的，加上大學(xué)里的教學(xué)進(jìn)度快，反復(fù)練習(xí)的機(jī)會(huì)少。難免會(huì)使一些新生感到不適應(yīng)，概念掌握不好，以致于以概念為基礎(chǔ)的理論及計(jì)算方法當(dāng)然也就很難學(xué)好。因此能不能用有限的時(shí)間加強(qiáng)概念教學(xué)就成為提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。
二、注重概念的引入是學(xué)習(xí)概念的先導(dǎo)
眾所周知，數(shù)學(xué)概念都是由客觀實(shí)際或客觀規(guī)律抽象出來的。很多概念都可以在實(shí)際中找到它的“原型”。例如：從曲線切線的斜率、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度的計(jì)算等問題抽象出導(dǎo)數(shù)概念。從求曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等問題抽象出定積分的概念，這種方法符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，學(xué)生只有透徹地理解解決這些問題的思路，才能真正地理解概念的實(shí)質(zhì)及價(jià)值。因此，教師不能認(rèn)為花費(fèi)一定時(shí)間講解這些背景是沒有價(jià)值的、是在浪費(fèi)有限的時(shí)間，因而便三言兩語草草了事或者根本不講背景，直接拿出定義，接著便是計(jì)算，一個(gè)例題接著一個(gè)例題，這是不妥當(dāng)?shù)?。再者從客觀實(shí)例引進(jìn)概念，也為以后應(yīng)用這些概念及有關(guān)理論去解決應(yīng)用問題作了一定的準(zhǔn)備。
值得注意的是并非每一個(gè)概念都要求由實(shí)例引入，教師可靈活掌握。對(duì)于一些較易理解的概念也可以從已知的概念引出新的概念。例如：無窮小量可由極限概念中當(dāng)極限值為零時(shí)來得到，連續(xù)概念也可由極限概念中極限值等于函數(shù)值來得到。而原函數(shù)的概念自然而然的可由導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出。這些概念對(duì)于學(xué)生來說都是不難接受的。
總之，不論是由實(shí)例抽象出概念還是由舊知識(shí)直接引出新概念，教師的主要目的應(yīng)該放在使學(xué)生理解概念的形成，掌握概念的內(nèi)涵上，所以所用的例子都不宜太復(fù)雜或者專業(yè)性太強(qiáng)，否則會(huì)造成喧賓奪主，反而影響概念的形成與引出。
三、數(shù)學(xué)概念的定義是概念屬性的體現(xiàn)
高等數(shù)學(xué)中的概念的具體內(nèi)涵通常用定義的形式給出，有的概念還同時(shí)規(guī)定了所采用的符號(hào)。當(dāng)教師以實(shí)際問題或?qū)W生的原有知識(shí)為基礎(chǔ)抽象出概念以后，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解定義所指出概念的本質(zhì)屬性，從正面和反面等不通角度去反復(fù)領(lǐng)會(huì)，并利用自己的語言正確地?cái)⑹龈拍睢?/p>
以導(dǎo)數(shù)的定義為例，教師應(yīng)該使學(xué)生層層深入，理解以下各點(diǎn)：
第一、由于函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量 與自變量增量 之比當(dāng) 時(shí)的極限，所以該函數(shù)必須在 處及其一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，否則就不可導(dǎo)，比如： 與 在 處就不可導(dǎo)。
第二、函數(shù)增量與自變量的增量有不同的表示法。因此導(dǎo)數(shù)定義式也有不同的表示法。如： 在 處的導(dǎo)數(shù)可以分別表示為 與 等。當(dāng)極限不存在時(shí)此函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)。
第三、定義同時(shí)給出了求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：①求函數(shù)增量 ②求函數(shù)增量與自變量增量之比 ③求極限 ，告訴學(xué)生按照這三步就可以求出一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
高等數(shù)學(xué)中有不少概念的定義都明確指出了計(jì)算的方法與步驟，除上述導(dǎo)數(shù)外，連續(xù)概念、定積分概念、級(jí)數(shù)收斂性概念等都是如此。教師在進(jìn)行這類概念教學(xué)時(shí)應(yīng)該花費(fèi)一些力氣按定義指明的方法與步驟進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一概念的理解。同時(shí)教師也應(yīng)向?qū)W生指出按定義直接進(jìn)行計(jì)算一般是很困難的，因此有必要研究其性質(zhì)及別的計(jì)算法則，這樣做就可以喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。
當(dāng)然高等數(shù)學(xué)中并非所有的概念都是如此，有些概念的定義只是明確了概念的內(nèi)涵，而并沒有給出計(jì)算方法與步驟，如極限的精確定義、原函數(shù)與不定積分等等。教師在這類概念的教學(xué)中，為了加深學(xué)生的理解，一般都要按定義作一些驗(yàn)證工作，如：證明 ，證明 和 都是 的原函數(shù)。
學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)往往有一個(gè)不良習(xí)慣，輕概念重計(jì)算，以為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)無非就是要會(huì)計(jì)算、會(huì)做題。常常有這樣的事情發(fā)生，有的學(xué)生學(xué)完了高等數(shù)學(xué)也知道 卻說不清楚符號(hào) 所表示的確切含義，更有甚者學(xué)完了高等數(shù)學(xué)卻不知道微商是什么。因此從始至終抓緊概念的教學(xué)是很重要的，這不僅要熟記定義的條文、定理的條件和結(jié)論，更重要的是透徹地掌握其本質(zhì)。
四、在概念系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念
教師經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，有的學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)概念時(shí)，以為明白了定義的本質(zhì)，但是若把這個(gè)概念與其它有關(guān)概念放在一起時(shí)，就糊涂了，比如極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，教師都會(huì)給學(xué)生講清楚，但學(xué)生一碰到下面的問題就舉棋不定，不知道從何寫起:
設(shè)
1) 取何值時(shí)， 在 處連續(xù)？
2) 取何值時(shí)， 在 處可導(dǎo)？
3) 取何值時(shí)， 的導(dǎo)數(shù)在 處連續(xù)？
為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？一方面是學(xué)生還沒有真正領(lǐng)會(huì)概念的本質(zhì)，有的學(xué)生當(dāng)時(shí)弄清楚了但缺乏鞏固措施，不久就忘了。另一方面是學(xué)生習(xí)慣孤立地學(xué)習(xí)概念，不善于把相關(guān)概念相比教，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。因此，在進(jìn)行概念思維時(shí)就會(huì)出現(xiàn)“斷線”現(xiàn)象，無從下筆，或者寫不清楚。要解決這個(gè)問題，教師必須在概念系統(tǒng)中教會(huì)概念，學(xué)生必須在概念系統(tǒng)中學(xué)會(huì)概念。數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容按一定的邏輯關(guān)系組成的知識(shí)體系。概念與概念之間總有一定的內(nèi)在聯(lián)系，特別是一些相近的概念，其聯(lián)系更為突出，學(xué)生最易混淆。因此，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)要不時(shí)的將這些概念與前面所學(xué)過的相近概念相比教，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，前面說的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、可微是如此，在此之后的四個(gè)中值定理更是如此。
總之，把概念放在概念系統(tǒng)中教學(xué)是教師應(yīng)當(dāng)把握的教學(xué)規(guī)律。教師每講一個(gè)新概念，首先必須對(duì)這一概念的地位、作用以及與其它概念的聯(lián)系做到心中有數(shù)，使學(xué)生對(duì)已學(xué)過的概念能做到融會(huì)貫通，同時(shí)，又為今后要學(xué)的新概念埋下“伏”筆。
最后要說明的是，對(duì)于工科高等數(shù)學(xué)中的概念的教學(xué)，教師必須掌握分寸。工科數(shù)學(xué)畢竟不同于數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)，應(yīng)該著重于應(yīng)用，而不宜在純數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)上花費(fèi)過多的精力，另外專業(yè)之間也應(yīng)該有所區(qū)別，這些都是我們從事工科數(shù)學(xué)教學(xué)工作的教師應(yīng)該注意的。
【中圖分類號(hào)】G642【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1006－9682（2009）01－0071－01
高等數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象是函數(shù)，而研究函數(shù)的基本方法是極限，極限的概念是個(gè)比較抽象的概念。對(duì)于那些從初等數(shù)學(xué)進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的高職高專學(xué)生而言，不論從知識(shí)結(jié)構(gòu)方面，還是從思維方式上來講，都要有一個(gè)本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。為了更好的實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)變，就要求我們教師必須把要教的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行必要的加工，按照學(xué)生的實(shí)際情況逐漸引導(dǎo)學(xué)生走上正確的分析思維，抽象，概括，解決實(shí)際問題的道路。
一、講解實(shí)例，使學(xué)生獲得有關(guān)極限概念的感性認(rèn)識(shí)。
為了使學(xué)生更好的理解極限的概念，我們先從以下2個(gè)例子來講解。
例1：如何求圓的面積？
解題思路：用圓內(nèi)接正n邊形的面積去逼近圓的面積。
設(shè)有一圓，其面積記為s，做它的正四邊形，正八邊形……正n邊形，記做s4，s8……sn，當(dāng)圓內(nèi)的正多邊形的邊數(shù)越來越多的時(shí)候，它的面積就越近似于圓的面積，即當(dāng)n∞時(shí)，sns。
這個(gè)例題是非常有名的“劉徽割圓術(shù)”，雖然當(dāng)時(shí)沒有嚴(yán)格的極限定義，但是他的這種思想正是體現(xiàn)了極限的概念。
例2：求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。
對(duì)這個(gè)實(shí)例應(yīng)著重弄清兩個(gè)問題：第一，要求瞬時(shí)速度，為什么要先考慮平均速度？第二，為什么要規(guī)定瞬時(shí)速度是平均速度的極限？在瞬時(shí)速度的概念提出之前，已經(jīng)有了勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度概念及其計(jì)算方法，引出平均速度只要是將非勻速直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為迅速運(yùn)動(dòng)來處理，從而求出瞬時(shí)速度的近似值。
（s―位置的改變量；t―時(shí)間的改變量）
表示物體在t時(shí)間內(nèi)的平均速度，它隨t的變化而變
化，當(dāng)時(shí)間改變量t越來越小時(shí)，位置的改變量s也越來越小，
而平均速度 越來越接近一定值，即平均速度作為瞬時(shí)速度的
近似值，其近似程度越小越好，但不管t多么小，所求得的平均速度還不是t時(shí)刻的速度，而只是它的一個(gè)近似值。要把這個(gè)近似值轉(zhuǎn)化為精確值，即求出了t時(shí)刻的速度，只有縮小t，當(dāng)t0時(shí)，v（t）v平均，也就是說t越變?cè)叫。瑅平均與v（t）就越接近，有近似值而飛躍到了精確值。
重點(diǎn)講清這個(gè)事例后，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究非均勻變化的變化問題確實(shí)是世界中存在的普遍問題，而這類問題的解決都?xì)w納為求極限的問題。
二、根據(jù)實(shí)例給出函數(shù)極限的定義
通過上面兩個(gè)例子，我們可以將它們看作是一個(gè)函數(shù)。如果給定一個(gè)函數(shù)y＝f（x），其函數(shù)值y會(huì)隨著自變量x的變化而變化，若當(dāng)自變量無限接近于某個(gè)“目標(biāo)”，這個(gè)目標(biāo)可以是任意一個(gè)確定的常數(shù)x0，也可以是＋∞或－∞。此時(shí)，函數(shù)值y無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f（x）以A為極限，下面就以例題并結(jié)合它的數(shù)值表充分說明函數(shù)的極限。
例3：考察當(dāng)x3時(shí)，函數(shù) 的變化。
解：函數(shù) 在（－∞，＋∞）有定義。
設(shè)x從3的左、右側(cè)無限接近于3，即x的取值及對(duì)應(yīng)的函數(shù)表如下：
x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …
f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …
數(shù)值表給出后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去從靜態(tài)的有限量來刻畫動(dòng)態(tài)的無限量，通過直觀的數(shù)據(jù)讓學(xué)生看到，當(dāng)x越來越接近于
3時(shí)，也就是我們所說的那個(gè)目標(biāo)，函數(shù)值 的值就
無限接近于3，體現(xiàn)了我們最后用近似值代替精確值的思想。那么，由這個(gè)例題，教師可以給出極限的定義。
定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某一空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x無限接近于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)A，則稱A為xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限，記作： 或
f（x）A（xx0）。
極限的定義給出以后，教師可以讓學(xué)生根據(jù)極限的定義寫出
例三的極限，即 。
這時(shí)，有些同學(xué)可以看到， 的極限值與f（3）的函
數(shù)值相等，這是怎么回事？它會(huì)給同學(xué)們一個(gè)錯(cuò)誤的概念，求極限就是在求函數(shù)值，雖然在后面我們會(huì)講到某些函數(shù)求極限是靠函數(shù)值求出來的，但是這二者之間沒有任何關(guān)系。
例如，求 ，如圖所
示，當(dāng)x＝1， 無意義，所
以函數(shù)值是不存在的，而當(dāng)x1時(shí)，從圖象上可以看出
，所以說，極限是否存在與這點(diǎn)有沒有函數(shù)值沒有
任何關(guān)系。
參考文獻(xiàn)
